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#1 07-07-2020 18:31:57

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

salut à tous, je veux savoir si mon raisonnement est juste pour montrer que ln(3)/ln(2) est irrationnel
raisonnons par l'absurde et supposons que ln(3)/ln(2) est rationnel
donc il existe deux entiers naturels p et q tels que ln(3)/ln(2)=p/q
donc qxln(3)/ln(2)=p
posons A l'ensemble des entiers naturels n tels que nxln(3)/ln(2) est un entier naturel
A est non vide parce que q est dans A
comme A est une partie non vide de N alors elle admet un plus petit élément que l'on note a
posons m=a-axln(2)/ln(3)
d'une part mxln(3)/ln(2)=axln(3)/ln(2)-axln(2)/ln(3)xln(3)/ln(2)=axln(3)/ln(2)-a
donc m est dans A
et d'autre part m<a
ce qui contredit la minimalité de a
d'où le résultat

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#2 07-07-2020 18:48:22

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 108

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Bonjour ! Ça m'a l'air correct. À mon avis, il faudrait préciser que $\frac{\ln 3}{\ln 2} > 1$, pour que l'on soit sûr et certain que $m \frac{\ln 3}{\ln 2} = a \frac{\ln 3}{\ln 2} - a = a \left(\frac{\ln 3}{\ln 2} -1\right) > 0$ soit un entier naturel.

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#3 08-07-2020 08:08:28

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Bonjour,

Et ainsi, cela est-il bon ?

Par l'absurde ...  supposons que ln(3)/ln(2) est rationnel
donc il existe deux entiers naturels p et q tels que ln(3)/ln(2)=p/q
donc q*ln(3)=p*ln(2)
ln(3^q) = ln(2^p)
3^q = 2^p ce qui est impossible (le membre de gauche est impair et celui de droite est pair)
et donc ...

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#4 08-07-2020 13:39:12

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 108

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

@Black Jack, ça m'a l'air correct. Il faudrait juste signaler (même si évident) que $\frac{\ln 3}{\ln 2} \neq 1$, et donc que $p$ et $q$ sont différents de $1$, ce qui permet d'exclure le potentiel cas où $3^p = 2^q = 1$.

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#5 08-07-2020 14:31:22

freddy
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Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

valoukanga a écrit :

@Black Jack, ça m'a l'air correct. Il faudrait juste signaler (même si évident) que $\frac{\ln 3}{\ln 2} \neq 1$, et donc que $p$ et $q$ sont différents de $1$, ce qui permet d'exclure le potentiel cas où $3^p = 2^q = 1$.

Salut et pardon, je ne comprends rien à ce que tu écris.
Je trouve la démonstration de black jack très astucieuse mais je ne comprends pas l’histoire de p et q distincts de 1 ...
pourrais tu stp, être plus explicite ? D’avance, merci !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 08-07-2020 14:37:39

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 108

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Salut ! Je voulais dire que si $\frac{\ln 3}{\ln 2} =1$, alors la fraction $\frac pq$ est la fraction $\frac 11$, donc $3^p = 2^q = 1$. Je sais pas si je suis très clair...

Dernière modification par valoukanga (08-07-2020 14:42:30)

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#7 08-07-2020 15:09:45

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 53

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

salut, si [tex]\cfrac{\ln 3}{\ln 2}=\cfrac{p}{q}=1[/tex], alors [tex]p=q[/tex], donc tu as [tex]3^p=2^q=2^p\implies 3=2[/tex], donc y'a pas de problème ^^.
Mais on peut aller plus vite : [tex]\cfrac{\ln 3}{\ln 2}=1[/tex], alors [tex]\ln 3=\ln 2\implies 3=2[/tex]

Dernière modification par Guitout (08-07-2020 15:11:50)

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#8 08-07-2020 15:58:35

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

valoukanga a écrit :

Salut ! Je voulais dire que si $\frac{\ln 3}{\ln 2} =1$, alors la fraction $\frac pq$ est la fraction $\frac 11$, donc $3^p = 2^q = 1$. Je sais pas si je suis très clair...

Non, toujours pas et je pense qu'il y a une égalité qui est fausse, mais guitout a enchainé, ça a l'air mieux.

Je pense qu'on doit se servir du fait que le quotient des log est différent de 1 pour déduire que p est distinct de q, mais ensuite ? …
Pour finir, la preuve donnée par black jack est très convaincante, je trouve.


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#9 08-07-2020 17:11:21

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 108

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Oui ok désolé... j'étais mal réveillé, et je viens de me rappeler de mes vieux cours de 4e où on m'a appris que $3^1 = 3$ et non $3^1 = 1$. Désolé pour la tentative d'embrouille !

Merci guitout de m'avoir corrigé !

Et oui la preuve donnée par Black Jack et plus rapide et très bien.

Dernière modification par valoukanga (08-07-2020 17:12:07)

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#10 10-07-2020 20:43:03

Nicolasdoumin
Invité

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Bonjour
je ne suis pas d'accord avec la démonstration de adnanemohib99. En effet, le plus petit élément de A est 0, donc m=0 et il n'y a pas de contradiction.
Si on avait pris A l'ensemble des entiers naturels non nuls n tels que nxln(3)/ln(2) est un entier naturel, rien ne prouve que m=a-axln(2)/ln(3) est un entier naturel et donc que m est un élément de A.

#11 11-07-2020 12:00:42

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Bonjour,
En effet il aurait fallu préciser que $A$ est l'ensemble des entier naturels non nuls vérifiant ce que l'on veut. Mais la deuxième objection n'est pas valable, selon moi, car adnanemohib99 a bien donné une justification que $m$ vérifie la propriété voulue et il n'est pas très difficile de montrer que $m$ est non nul, ais-je loupé quelque chose ?

Dernière modification par Maenwe (11-07-2020 12:01:18)

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#12 11-07-2020 13:15:46

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Maenwe a écrit :

Bonjour,
En effet il aurait fallu préciser que $A$ est l'ensemble des entier naturels non nuls vérifiant ce que l'on veut. Mais la deuxième objection n'est pas valable, selon moi, car adnanemohib99 a bien donné une justification que $m$ vérifie la propriété voulue et il n'est pas très difficile de montrer que $m$ est non nul, ais-je loupé quelque chose ?

Salut,

oui, je suis d'accord, il y a une imprécision dans la définition de $A$, mais ensuite, si on la corrige, ça roule bien, on montre que $m \lt a$ avec $a$ réputé être le plus petit élément non nul de $A$. D'où la contradiction recherchée.
Selon mes souvenirs, c'est une démonstration assez standard.


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#13 11-07-2020 14:38:37

Matou
Invité

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Bonjour

On sait que a.ln(3)/ln(2) est un entier.
Cela n'implique pas que a.ln(2)/ln(3) soit entier. Or c'est cette dernière quantité qui intervient dans la définition de m.
On n'est pas sûr que m soit entier...

Cordialement

Matou

#14 11-07-2020 16:11:49

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Matou a écrit :

Bonjour

On sait que a.ln(3)/ln(2) est un entier.
Cela n'implique pas que a.ln(2)/ln(3) soit entier. Or c'est cette dernière quantité qui intervient dans la définition de m.
On n'est pas sûr que m soit entier...

Cordialement

Matou

Re,

Justement, tu montres qu’il est entier en montrant qu’il appartient à $A$, c’est toute la base de la démonstration !


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#15 11-07-2020 16:23:22

Matou
Invité

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Re,

Je ne suis pas sûr. On montre que m.ln(3)/ln(2) est entier, mais on ne montre pas que m est lui-même entier.
On a écrit ln(3)/ln(2) =p/q puis m=a(1-q/p),  tout ce qu'on peut dire, c'est que m est rationnel.

Matou

#16 11-07-2020 16:33:51

Matou
Invité

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Par exemple,

Soit A l'ensemble des entiers a tels que a.2/3 soit entier.
Posons m=3/2, on a bien m.2/3 entier, cependant m n'appartient pas à A.

Matou

#17 11-07-2020 21:19:52

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

Matou a écrit :

Re,

Je ne suis pas sûr. On montre que m.ln(3)/ln(2) est entier, mais on ne montre pas que m est lui-même entier.
On a écrit ln(3)/ln(2) =p/q puis m=a(1-q/p),  tout ce qu'on peut dire, c'est que m est rationnel.

Matou

Oui, tu as raison, on peut même démontrer que ce ne peut être un entier !
Donc il vaut mieux prendre la preuve de black jack !


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