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#1 09-07-2020 07:50:15

ThomasLLFP
Membre
Inscription : 09-07-2020
Messages : 3

Calcul de variance

Bonjour,
C'est une question issue de la deuxième épreuve du capes 2014.
On donne $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et on considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=X^2$.
On demande de montrer que la variance de $Y$ est égale à $2$.

On avait montré précédemment que $V(Y)$ existe, de même que $E(Y)$, et que $E(Y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, sauf erreur !

Alors, j'écris que :
$$V(Y)=V(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} \big(x^2-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\big)^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

Est-ce déjà correct ?

Merci par avance pour votre coup de pouce !

Hors ligne

#2 09-07-2020 10:47:08

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Calcul de variance

Salut,

ton espérance est fausse, tu devrais trouver 1.
Pour la variance, tu devrais trouver 2.
Va jeter un œil sur la loi du Khi-2.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 09-07-2020 10:49:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 635

Re : Calcul de variance

Bonjour,

  Il manque $1/\sqrt{2\pi}$ en facteur non, puisque la densité de $X$ est $\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.

F.

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#4 09-07-2020 11:13:39

ThomasLLFP
Membre
Inscription : 09-07-2020
Messages : 3

Re : Calcul de variance

Exact, merci beaucoup !

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#5 09-07-2020 11:21:35

ThomasLLFP
Membre
Inscription : 09-07-2020
Messages : 3

Re : Calcul de variance

C'est bon, parfait, j'ai trouvé.
Merci aussi freddy pour l'info.

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