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#1 08-07-2020 20:56:26

kevlar
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Messages : 31

relation d'ordre compatible

Edit coquille modifié
j'avais écrit [tex]\langle 1\rangle =\langle -1\rangle =\mathbb {Z}/n\mathbb {Z}=\{0,1,2.1,3.1,\cdots ,\left(n-1\right).1\} [/tex]
ce qu'il fallait écrire [tex]\langle 1\rangle = \mathbb {Z}/n\mathbb {Z}=\{0,1,2.1,3.1,\cdots ,\left(n-1\right).1\} [/tex]

Edit modifié
J'avais écrit
il existera toujours un entier naturel [tex] n [/tex] de [tex]\mathbb {N}[/tex] tel que [tex]n.a>b[/tex]
ce qu'il fallait écrire
il existera toujours un entier naturel [tex] k [/tex] de [tex]\mathbb {N}[/tex] tel que [tex]k.a>b[/tex]

Bonjour;
Merci;

Je cherche à montrer que le groupe cyclique (noté additivement)
[tex]\mathbb {Z}/n\mathbb {Z}=\{0,1,\cdots ,n-1\}[/tex]
avec [tex]n>1[/tex] muni de la relation d'ordre [tex] \leq [/tex] selon
[tex]0<1<\cdots <n-1[/tex]
fait de ce groupe un groupe archimédien mais que
cette relation d'ordre n'est pas compatible

Ma question: voyez vous une erreur dans ma démonstration?

Démonstration(sous réserve qu'elle soit correcte)
[tex]\mathbb {Z}/n\mathbb {Z} [/tex] est archimédien puisque
[tex]\langle 1\rangle =\mathbb {Z}/n\mathbb {Z}=\{0,1,2.1,3.1,\cdots ,\left(n-1\right).1\} [/tex]
de sorte que pour tout élément [tex] a [/tex] de [tex]\mathbb {Z}/n\mathbb {Z} [/tex] et tout élément [tex] b [/tex] de [tex]\mathbb {Z}/n\mathbb {Z} [/tex]
il existera toujours un entier naturel [tex] k [/tex] de [tex]\mathbb {N}[/tex] tel que [tex]k.a>b[/tex]
On montre par un contre exemple que cette relation d'ordre n'est pas compatible avec la loi du groupe
par exemple dans [tex]\mathbb {Z}/3\mathbb {Z} [/tex]
[tex]1<2\Longleftrightarrow \left(1+1=2\leq 2+1=0\right)[/tex] est faux

Dernière modification par kevlar (08-07-2020 21:48:25)

Hors ligne

#2 08-07-2020 21:33:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 635

Re : relation d'ordre compatible

Bonjour,

  Je ne vois pas en quoi tu as prouvé que pour tous les éléments $a,b$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ avec $a>0$, il existe $k$ tel que $ka>b$ - attention aux notations! $n$ est déjà pris pour $\mathbb Z/n\mathbb Z$....
D'abord, est-ce vraiment possible d'avoir une inégalité stricte si $b=n-1$....

Hors ligne

#3 08-07-2020 21:38:10

kevlar
Membre
Inscription : 05-07-2020
Messages : 31

Re : relation d'ordre compatible

Bonjour

le groupe est noté additivement

par exemple n=3 n'est pas pris dans [tex] \mathbb {Z}/3\mathbb {Z}=\{0,1,2\} [/tex]

Hors ligne

#4 08-07-2020 21:50:07

kevlar
Membre
Inscription : 05-07-2020
Messages : 31

Re : relation d'ordre compatible

J'ai corrigé car effectivement utiliser n prête à confusion dans le propos

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