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#1 03-07-2020 17:45:31

Yunvln
Membre
Inscription : 02-07-2020
Messages : 17

Problème exposant fractionnaire

Bonjour,

J'ai regarder un peu partout sur internet, sans jamais trouver de réponse qui me sois utile, même sur certains forum mais ce n’était jamais très pertinent c'est pour cela que je m'adresse a vous.

J'ai un exercice de math qui ne me paraissait pas compliqué mais qui me pose beaucoup de soucis finalement.

Soit a, b > 0. Démontrer que
a^(1/4) + b^(1/4 ) >=  (a + b)^(1/4)

J'ai pus voir que a^(1/4) = 4(exposant)sqrt(a)
Mais cela ne m'est pas de grande utilité.

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement

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#2 03-07-2020 18:04:44

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : Problème exposant fractionnaire

Bonsoir,
as tu essayé de développer $(a^{1/4} + b^{1/4})^4$ ?

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#3 03-07-2020 18:12:26

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Problème exposant fractionnaire

Maenwe a écrit :

Bonsoir,
as tu essayé de développer $(a^{1/4} + b^{1/4})^4$ ?

+ 1 !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 03-07-2020 18:14:42

Yunvln
Membre
Inscription : 02-07-2020
Messages : 17

Re : Problème exposant fractionnaire

Merci de votre réponse !
Oui, j'ai développé et je trouve a+b+(4a^(3/4))*(b^(1/4))+(6a^(2/4))*(b^(2/4)-(4a^(1/4))*(b^(3/4))
Mais je ne sais pas si ça m'aide

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#5 03-07-2020 19:44:35

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Problème exposant fractionnaire

Re,

Comment fais tu pour trouver un terme négatif ?
Sinon, reprends ton inégalité au début et regarde !

Je te donne une piste : ton inégalité est équivalente à $(a^{1/4}+b^{1/4})^4 \ge a+b$
Que peux-tu dire ?

Dernière modification par freddy (03-07-2020 22:33:52)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 04-07-2020 09:49:16

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : Problème exposant fractionnaire

Bonjour,
Continue sur cette piste pour l'instant (s'entrainer à faire du calcul est toujours utile !), mais voici une autre piste :
Il est plus facile (bien moins de calcul) de montrer que $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \geq (x+y)^{\frac{1}{2}}$ pour tout $x,y > 0$... et à partir de ça tu peux en déduire l'inégalité voulue. M'enfin cette méthode est un peu plus longue mais si au final on connait cette inégalité : $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \geq (x+y)^{\frac{1}{2}}$ (qui est plutôt connus) et que l'on connait une autre propriété sur la racine carré (que je ne te dirai pas, sinon ça casse tout le suspens) et bien il n'y a pas vraiment besoin de faire beaucoup de calculs.
L'avantage de cette deuxième méthode c'est que l'on réfléchi plus que l'on ne calcul.

Dernière modification par Maenwe (04-07-2020 09:49:36)

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#7 05-07-2020 08:43:00

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : Problème exposant fractionnaire

Yunvln a écrit :

Merci de votre réponse !
Oui, j'ai développé et je trouve a+b+(4a^(3/4))*(b^(1/4))+(6a^(2/4))*(b^(2/4)-(4a^(1/4))*(b^(3/4))
Mais je ne sais pas si ça m'aide

Salut,

Comment t'y prends-tu pour avoir des termes négatifs en développant  (a^(1/4) + b^(1/4))^4 ???

(a^(1/4) + b^(1/4))^4 = a + b + 4(ab)^(1/2) + 2(ab)^(1/2) + 4a^(3/4).b^(1/4) + 4b^(3/4).a^(1/4)

Et alors tout est évident ...

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