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#1 05-06-2020 13:55:19

Judy
Membre
Inscription : 24-07-2019
Messages : 14

Résolution d'équation

Bonjour,

J'aurais, svp, besoin d'aide pour un petit problème posé sur Twitter (sur le compte @GWOMaths) :

[tex]x^2+y^2+z^2=38[/tex]
[tex]x+y+z=10[/tex]
[tex]x^2 = (y-z)^2[/tex]
[tex]x<y<z[/tex]

Il s'agit de trouver les valeurs de x,y et z

Voilà le cheminement de la lauréate :

1591362982.jpg

1591363023.jpg

Je reprends l'équation qui permet de trouver z :

[tex]x^2+y^2+z^2=38[/tex]

Or

[tex]x^2=(y-z)^2[/tex]


[tex]x^2=y^2-2yz+z^2[/tex]

donc :

[tex]y^2-2yz+z^2+y^2+z^2=38[/tex]

Il a été calculé que y=5

[tex]5^2-2\times 5z+z^2+5^2+z^2=38[/tex]

[tex]25-10z+z^2+z^2=38[/tex]

[tex]25+25-10z+z^2+z^2=38[/tex]

[tex]50-10z+2z^2=38[/tex]

[tex]-10z+2z^2=38-50[/tex]

[tex]-10z+2z^2=-12[/tex]

[tex]12-10z+2z^2=0
[/tex]

Et là...c'est le drame. Il y a cette chose étonnante qui suit :

[tex]z=\frac{+-10\sqrt{100-(4)(24)}}{4}[/tex] 

D'où vient ceci : +-10 ? et pourquoi ce 4 au numérateur ? Par quelles étapes arrive t-on, svp,  à cette équation ?


[tex]\frac{CHEVAL}{OISEAU}=\frac{CHEVAL}{βL}=\frac{CHEVA}{β}=\frac{VACHE}{β}=\frac{βπ}{β}=π[/tex]

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#2 05-06-2020 14:27:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 907

Re : Résolution d'équation

Bonjour,

ça m'a tout l'air d'être une notation anglo-saxonne.
Chez nous (et en ajoutant des étapes) on écrirait
$2z^2-10z+12 =0$
Calcul du discriminant :
$\Delta=10^2-4\times 2 \times 12 =100-96 = 4=2^2$
Puisque $\Delta>0$ 2  solutions :
$z_1,z_2=\dfrac{10\pm 2}{2\times 2}=\dfrac{10 \pm 2}{4}$
D'où $z_1= 2$ et $z_2=3$

Qui est l'application à ce cas particulier de la procédure standard
Avec $a, \,b\,c  \in \mathbb R^*$
Résolution de
$ax^2+bx+c =0$
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ 2  solutions :
$x_1,x_2=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Est-ce que ça te dit quelque chose ?

@+


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#3 05-06-2020 16:57:58

Judy
Membre
Inscription : 24-07-2019
Messages : 14

Re : Résolution d'équation

Non, je ne connaissais pas la méthode du discriminant. Merci pour l'éclairage !


[tex]\frac{CHEVAL}{OISEAU}=\frac{CHEVAL}{βL}=\frac{CHEVA}{β}=\frac{VACHE}{β}=\frac{βπ}{β}=π[/tex]

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#4 05-06-2020 20:52:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 907

Re : Résolution d'équation

Bonsoir,

Dans ce cas, tu as besoin que j'allume quelques spots supplémentaires...
Parce que ce que t'ai montré, c'est ce que l'élève doit faire.
Mais ce n'est pas une "recette de cuisine" !
Je vais te montrer que ça tombe pas du ciel, comme ça.
Et attache ta ceinture...

On considère le polynôme du 2nd degré tel que a, b et c ne soient pas nuls. :
$ax^2+bx+c$
Essayons de le factoriser (la technique ci-dessous se nomme "mise sous forme canonique"). D'abord ce a m'ennuie, alors j'écris :
$ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac b a x+\frac c a\right)$ j'ai mis a en facteur commun.

Ensuite je m'intéresse à $x^2+\frac b a x$... ce truc-là me rappelle le produit remarquable $A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$
Mais il n'y a pas de 2 ni de 2e carré...
C pô grave, on va arranger ça :
1.Développons $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ pour voir :
   $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}$  Ah ! Je le vois le 2 !
   Je divise par 2 et comme c'est 2 fois trop petit pour rétablir l'équilibre on remultiplie par 2...
   Mais, votre carré, là : $\frac{b^2}{4a^2}$ vous en faites quoi ???
2. Bin, je vais le soustraire des 2 côtés comme ça :
    $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}$
   Je simplifie :
   $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \dfrac{b}{2a} x$

Je vais donc remplacer $x^2+\dfrac{b}{a} x$  par  $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$
Petit résumé :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]$

Et ce morceau : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a$, je l'écris en une seule fraction : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a -\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
Je remplace :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$
Et c'est le numérateur qu'on appelle discriminant et qu'on désigne par  :
$\Delta=b^2-4ac$

Et maintenant je dois me demander à quelle condition on peut factoriser l'expression : $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$

Et là je vois que
1. si $\Delta<0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ et je peux pas factoriser $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\text{nombre positif}\right]$. Pas de solution

2. si $\Delta=0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$ et l'expression se résume à $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
    1 solution double $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$

3. si $\Delta>0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$  Et donc  $\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$
    Mon expression peut donc s'écrire
    $ ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]$
    $a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) $
    Chercher les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ quand $\Delta>0$ c'est résoudre l'équation-produit :
     $a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 $
     qui a 2 solutions
    $ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$  et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    que l'on résume ainsi
    $ x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Difficile à digérer ? Oui, in peu vau début, mais on s'y fait...

Questions ?

@+


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#5 05-06-2020 21:08:35

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 959

Re : Résolution d'équation

Bonsoir Yoshi,
pas de questions :-) pour ma part mais juste une réflexion : on peut trouver un triplet solution ($x$, $y$,$z$) par tâtonnements et raisonnement .. En supposant que les nombres cherchés sont dans Z :
La somme de 3 carrés vaut 38 et ils sont tous différents :
Les nombres dont la valeur absolue est supérieure ou égale à 7 ne sont pas dans le triplet car $7^2=49>38$ ..
6 et -6 ne peuvent pas faire partie du triplet solution car si $38=6^2+1^2+1^2$ on doit avoir 3 nombres différents. D'où |z|<6.
Supposons alors que z=5 fasse partie du triplet : 10=5+3+2=5+1+4. et au vu de la première équation seul le triplet (2,3,5) convient..

Ce qui n'enlève rien à la qualité et l'intérêt de ton post évidemment.

Je viens de voir que la lauréate n'a 12 ans, plutôt douée en effet...

A+

Dernière modification par Zebulor (06-06-2020 08:32:57)

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#6 06-06-2020 13:18:31

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 907

Re : Résolution d'équation

Salut,

Vu ton message hier soir, je prends un peu de temps pour répondre...
En supposant que ce soient des naturels
1. Python brute force :
En supposant que ce soient des naturels

for x in range(1,7):
    for y in range(x+1,7):
        for z in range(y+1,7):
            if x**2+y**2+z**2==38:
                print(x,y,z)

2. Mon cerveau
   $ \sqrt{38}\approx 6.2$ donc z<=6
   38 est pair.
   Si x, y et z sont tous les 3 pairs alors $x^2,\;y^2,\;z^2$ sont tous trois multiples de 4 mais 38 n'est pas multiple de 4.
   Alors il y a 2 nombres impairs et 1 pair.
   Le pair ne peut être z à cause de x<y<z,  6 est trop grand pour la raison que tu as donnée ou parce que les impairs candidats sont 1,3,5
   $z^2$ terminaison 6 alors$ x^2+y^2$ terminaison 2, la somme des carrés de 2 nombres impairs non nuls et non égaux n'est jamais terminée par 2
   Donc, 4 est envisagé alors x=1 et y =3 ne marche pas...
   Donc, z est impair : z=3 trop faible, d'où z=5...
   Et là, on tombe sur $x^2+y^2=13$ et $x+y=5$. Plus que deux choix possibles (x,y)=(1,4) qui ne marche pas et (x,y)=(2,3)

Réponse (x,y,z)=(2,3,5)

Il faudrait aussi justifier que les 3 ne peuvent être négatifs. Si z<0  les 3 le sont (or x+y+z=10 >0)...

@+


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#7 06-06-2020 16:15:27

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 152

Re : Résolution d'équation

Bonjour,

Le début de la démo au 1er message pourrait (devrait) être sanctionné.

Start by rewrinting x² = (y-z)²
--> x = y-z

n'est pas correct
----
x²+y²+z² = 38  (1)
x+y+z = 10   (2)
x² = (y-z)²  (3)
x < y < z

(3) -->
x = +/- (y-z)
+/- (y-z)+y+z = 10

remis dans (2) -->
a) (y-z)+y+z = 10 --> y = 5
b) -(y-z)+y+z = 10 --> z = 5

a)
y=5
x+z=5
x²+z²=13

x²+z²+2xz=25
xz = 6

x + 6/x = 5
x²-5x+6=0
x = 2 ou 3
et z = 6/x
--> x = 2, y = 5 et z = 3 (ne convient pas, car on n'a pas x < y < z)

b)
z = 5
x = -(y-5)--> x+y = 5
x²+y² = 13

x²+y²+2xy=25
xy = 6
x + 6/x = 5
x² - 5x + 6 = 0
x = 2 ou 3 et y = 6/x ...
--> x = 2, y = 3 et z = 5 (seul triplet solution)

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#8 06-06-2020 16:34:58

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 907

Re : Résolution d'équation

Re,

D'accord, ça m'avait chiffonné aussi...
Alors j'ai suivi le lien.
Et j'estime, si ce n'est pas le cas, que l'auteur du sujet aurait dû préciser à quel ensemble appartenaient x, y et z et donc lui aussi dû être l'objet d'une remarque...
Dans le doute concernant le sujet exact, je me suis abstenu de soulever le lièvre...

Cela dit, je rejoins Zebulor : pour une gamine de 12 ans, c'est quand même de la belle ouvrage !

@+


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#9 06-06-2020 16:48:54

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 224

Re : Résolution d'équation

Black Jack a écrit :

Bonjour,

Le début de la démo au 1er message pourrait (devrait) être sanctionné.

Start by rewrinting x² = (y-z)²
--> x = y-z

n'est pas correct
----
x²+y²+z² = 38  (1)
x+y+z = 10   (2)
x² = (y-z)²  (3)
x < y < z

(3) -->
x = +/- (y-z)
+/- (y-z)+y+z = 10

remis dans (2) -->
a) (y-z)+y+z = 10 --> y = 5
b) -(y-z)+y+z = 10 --> z = 5

a)
y=5
x+z=5
x²+z²=13

x²+z²+2xz=25
xz = 6

x + 6/x = 5
x²-5x+6=0
x = 2 ou 3
et z = 6/x
--> x = 2, y = 5 et z = 3 (ne convient pas, car on n'a pas x < y < z)

b)
z = 5
x = -(y-5)--> x+y = 5
x²+y² = 13

x²+y²+2xy=25
xy = 6
x + 6/x = 5
x² - 5x + 6 = 0
x = 2 ou 3 et y = 6/x ...
--> x = 2, y = 3 et z = 5 (seul triplet solution)

Salut,

c'est à peu prés ce que j'avais vu aussi, faut regarder avec distance. 12 ans, c'est vraiment jeune je trouve !

Dernière modification par freddy (06-06-2020 16:54:26)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#10 06-06-2020 17:16:40

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 959

Re : Résolution d'équation

Salut !
@Freddy : avec distance.. à moins que ce ne soit une élève du Collège.. de France ?
j'essaie de voir ce que ca donne en 3D comme intersection d'une sphère et de 3 plans dont 2 passant par l'origine dans la région de l'espace où  x<y<z ... mais j'ai du mal..

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#11 06-06-2020 17:23:03

Judy
Membre
Inscription : 24-07-2019
Messages : 14

Re : Résolution d'équation

yoshi a écrit :

Bonsoir,

Dans ce cas, tu as besoin que j'allume quelques spots supplémentaires...
Parce que ce que t'ai montré, c'est ce que l'élève doit faire.
Mais ce n'est pas une "recette de cuisine" !
Je vais te montrer que ça tombe pas du ciel, comme ça.
Et attache ta ceinture...

On considère le polynôme du 2nd degré tel que a, b et c ne soient pas nuls. :
$ax^2+bx+c$
Essayons de le factoriser (la technique ci-dessous se nomme "mise sous forme canonique"). D'abord ce a m'ennuie, alors j'écris :
$ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac b a x+\frac c a\right)$ j'ai mis a en facteur commun.

Ensuite je m'intéresse à $x^2+\frac b a x$... ce truc-là me rappelle le produit remarquable $A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$
Mais il n'y a pas de 2 ni de 2e carré...
C pô grave, on va arranger ça :
1.Développons $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ pour voir :
   $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}$  Ah ! Je le vois le 2 !
   Je divise par 2 et comme c'est 2 fois trop petit pour rétablir l'équilibre on remultiplie par 2...
   Mais, votre carré, là : $\frac{b^2}{4a^2}$ vous en faites quoi ???
2. Bin, je vais le soustraire des 2 côtés comme ça :
    $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \frac{b}{2a} x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}$
   Je simplifie :
   $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+2\times \dfrac{b}{2a} x$

Je vais donc remplacer $x^2+\dfrac{b}{a} x$  par  $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$
Petit résumé :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]$

Et ce morceau : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a$, je l'écris en une seule fraction : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a -\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
Je remplace :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$
Et c'est le numérateur qu'on appelle discriminant et qu'on désigne par  :
$\Delta=b^2-4ac$

Et maintenant je dois me demander à quelle condition on peut factoriser l'expression : $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$

Et là je vois que
1. si $\Delta<0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ et je peux pas factoriser $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\text{nombre positif}\right]$. Pas de solution

2. si $\Delta=0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$ et l'expression se résume à $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
    1 solution double $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$

3. si $\Delta>0$  alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$  Et donc  $\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$
    Mon expression peut donc s'écrire
    $ ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]$
    $a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) $
    Chercher les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ quand $\Delta>0$ c'est résoudre l'équation-produit :
     $a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 $
     qui a 2 solutions
    $ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$  et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    que l'on résume ainsi
    $ x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Difficile à digérer ? Oui, in peu vau début, mais on s'y fait...

Questions ?

@+


Waouh, merci d'avoir pris la peine de développer. Là, ça fait sens ! J'ai fait connaissance avec la forme canonique, du même coup. Ce post est précieux, je pourrai y revenir (tout va bien, la première ingestion s'est bien passée et j'ai du bicarbonate de sodium en pharmacie). Pas de nouvelles questions pour le moment sur ce sujet. @+


[tex]\frac{CHEVAL}{OISEAU}=\frac{CHEVAL}{βL}=\frac{CHEVA}{β}=\frac{VACHE}{β}=\frac{βπ}{β}=π[/tex]

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