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#1 05-06-2020 23:17:47

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

raisonnement par récurrence forte

bonjour!
je veux montrer que pour tout  n∈N* (2+√3)^n+(2−√3)^n est un entier pair
pour n=0 c'est trivial
soit n∈N* tel que la propriété est vraie pour tout les entiers strictement inférieures à n
montrons qu'elle est vraie aussi pour n
par l'hypothèse de récurrence il existe k∈N* tel que (2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1 = 2k
donc ((2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1) x 4 = 4 x 2k
donc ((2+√3)^n-1 + (2−√3)^n-1) x (2 +√3 + 2 - √3) = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2−√3)(2+√3)^n-1 + (2+√3)(2−√3)^n-1 = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2²−3)(2+√3)^n-2  + (2²−3)(2−√3)^n-2  = 4 x 2k
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n + (2+√3)^n-2  + (2−√3)^n-2  = 4 x 2k
comme n-2<n alors il existe k'∈N* tel que (2+√3)^n-2  + (2−√3)^n-2 = 2k'
donc (2+√3)^n + (2−√3)^n = 4 x 2k − 2k' = 2(4k − k') CQFD
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ce raisonnement est-il correcte? sinon pourquoi?

Hors ligne

#2 05-06-2020 23:22:14

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 134

Re : raisonnement par récurrence forte

Bonsoir !

Ça m'a l'air juste !

Hors ligne

#3 05-06-2020 23:35:02

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

Re : raisonnement par récurrence forte

#2 merci bcp

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