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#1 05-06-2020 14:00:31

Bill
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Polynôme formel

Bonjour à tous,
J’aimerais avoir un éclaircissement sur cet exercice pour pouvoir l’aborder.
Merci pour vos réponses.
Voici l’énoncé :


Dans tout cet exercice, on considère le R-espace vectoriel R3[X] des polynômes formels
à coefficients réels de degré ≤ 3, et on note a1, a2, a3 et a4 quatre nombres réels distincts deux à deux.
Etant donné deux nombres réels a et b, on définit le symbole de Kron,ecker δa,b par δa,b =1 si a=b, et δa,b =0 si a différent b.
Pour i ∈ {1, 2, 3, 4}, on note Pi(X) le polynôme:

Pi( X ) =  ((Produit j = 1 à 4, j diff i) (X − aj))/((Produit j = 1 à 4, j diff i) ( ai− aj)).


i. Expliciter P1(X). Calculer P1(a1), P1(a2), P1(a3) et P1(a4). Pour j ∈ {1, 2, 3, 4}, exprimer P1(aj) en utilisant le symbole de Kron,ecker.
ii. Plus généralement, exprimer Pi(aj) en utilisant le symbole de Kron,ecker.
iii. On considère quatre nombres réels b1, b2, b3 et b4. Trouver une combinaison linéaire
Q(X) des polynômes Pi(X) telle que
Q(aj) = bj, pour tout j ∈ {1,2,3,4} (∗) .
iv. Soit R(X) un polynôme de R3[X] vérifiant également la condition (∗) : R(aj) = bj, pour tout j ∈ {1,2,3,4} .
Que vaut le polynôme Q(X)−R(X) en chacun des aj ? En déduire Q(X)−R(X).
v. Grâce à ce qui précède, montrer que Q est l’unique polynôme de R3[X] vérifiant
la condition (∗).


Ps: J’ai déformé « Kron,ecker » exprès pour sa validation

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#2 05-06-2020 14:37:53

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Bonjour !

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Si tu veux de l'aide, dis-nous ce que tu as essayé ou fait.

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#3 05-06-2020 14:48:07

Bill
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Re : Polynôme formel

Déjà, je bloque sur la i) pour expliquer P1(X) et calculer P1(a1). Je pense ne pas bien comprendre le sens de l’exercice avec cette formule donnée :-/

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#4 05-06-2020 14:58:17

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Alors la formule qu'on te donne c'est celle-là :

$$\forall i \in \{1,2,3,4\},  P_i(X) = \frac{\prod\limits_{1 \leq j \leq 4, j \neq i} X-a_j}{\prod\limits_{1 \leq j \leq 4, j \neq i} a_i-a_j}.$$

Déjà, une bonne chose à remarquer c'est que tu peux tout mettre sous un seul produit, vu que les bornes sont identiques :

$$\forall i \in \{1,2,3,4\},  P_i(X) = \prod\limits_{1 \leq j \leq 4, j \neq i} \frac{X-a_j}{a_i-a_j}.$$

Ensuite, pour calculer $P_1(a_j)$, écris tout simplement les termes de ton produit. Pour $P_1$, la condition de ton produit qui est $1 \leq j \leq 4, j \neq i$ devient : $1 \leq j \leq 4, j \neq 1$, donc $2 \leq j \leq 4$. Ainsi, pour calculer $P_1(a_1)$ par exemple, tu as :

$$P_1(a_1) = \prod_{j=2}^4 \frac{a_1-a_j}{a_1-a_j}.$$

Essaie de faire la première question maintenant !

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#5 05-06-2020 15:07:50

Bill
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Re : Polynôme formel

Merci pour ces explications, l’énoncé s’éclaircit mieux je trouve. Je vais essayer d’avancer. Merci

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#6 05-06-2020 15:41:18

Bill
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Re : Polynôme formel

Du coup pour la première question je trouve : P1(a1) = ((a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4))/((a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)) = 1

P1(a2) = ((a2 - a2)(a2 - a3)(a2 - a4))/((a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)) = 0

P1(a3) = ((a3 - a2)(a3 - a3)(a3 - a4))/((a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)) = 0

P1(a4) = ((a4 - a2)(a4 - a3)(a4 - a4))/((a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)) = 0

Dernière modification par Bill (05-06-2020 15:42:17)

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#7 05-06-2020 16:03:06

valoukanga
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Re : Polynôme formel

C'est exact ! Si tu écris ça avec le symbole de Kron,ecker, ça donne ?

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#8 05-06-2020 16:18:40

Bill
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Re : Polynôme formel

Ça donnerait : Pi(aj) = δi,j

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#9 05-06-2020 16:28:47

valoukanga
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Re : Polynôme formel

C'est tout bon ! Essaie de faire la suite maintenant :)

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#10 05-06-2020 16:31:26

Bill
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Re : Polynôme formel

Merci :-)

Dernière modification par Bill (05-06-2020 16:31:44)

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#11 05-06-2020 16:37:44

Bill
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Re : Polynôme formel

La iii) est un peu plus dur à trouver

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#12 05-06-2020 16:42:03

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Essaie déjà de voir ce qu'il faut pour que juste pour $j = 1$, on ait l'égalité.

Tu sais que les $P_i(a_j)$ font soit 1, soit 0, et tu voudrais une combinaison qui fasse $b_1$. Cherche un peu et dis-moi si tu vois.

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#13 05-06-2020 16:56:57

Bill
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Re : Polynôme formel

Je suis pas sûr mais je trouve :

Q(a1)=bP1a1

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#14 05-06-2020 17:00:58

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Je crois pas trop que tu aies compris ce que j'ai essayé de te dire. Je vais de donner un indice :

On a $P_1(a_1) = 1$, donc $b_1 P_1(a_1) = b_1$. Ensuite, comme $P_1(a_2) = P_1(a_3) = P_1(a_4) = 0$, le polynôme $Q = P_1+P_2+P_3+P_4$ vérifie $Q(a_1) = b_1$, mais ce n'est pas le seul. Avec les conditions sur $b_2$, $b_3$ et $b_4$ tu devrais un autre polynôme $Q$ qui fonctionne pour $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.

Dernière modification par valoukanga (05-06-2020 17:01:26)

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#15 05-06-2020 17:22:40

Bill
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Re : Polynôme formel

D’accord, je vois un peu, ça me donne :

On sait que P2(a2)=1, et donc b2P2(a2)=b2
Ensuite, comme P2(a1)=P2(a3)=P2(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

On sait que P3(a3)=1, et donc b3P3(a3)=b3
Ensuite, comme P3(a1)=P3(a2)=P3(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

Et enfin, P4(a4)=1, et donc b4P4(a4)=b4
Ensuite, comme P4(a1)=P4(a2)=P4(a3)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

Dernière modification par Bill (05-06-2020 17:24:43)

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#16 05-06-2020 17:28:02

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Excuse-moi, j'ai dit une bêtise plus haut : le polynôme $b_1P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ fonctionne pour $b_1$.

Et même mieux en fait, pour n'importe quel $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3$, $b_1P_1 + \alpha P_2 + \beta P_3 + \gamma P_4$ fonctionne (puisque lorsqu'on évalue en $a_1$, les $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sautent). Essaie-donc de voir ce que ça donne en utilisant les conditions $Q(a_2) = b_2$, $Q(a_3) = b_3$ et $Q(a_4) = b_4$.

Encore désolé pour la petite erreur !

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#17 05-06-2020 17:28:02

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Excuse-moi, j'ai dit une bêtise plus haut : le polynôme $b_1P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ fonctionne pour $b_1$.

Et même mieux en fait, pour n'importe quel $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3$, $b_1P_1 + \alpha P_2 + \beta P_3 + \gamma P_4$ fonctionne (puisque lorsqu'on évalue en $a_1$, les $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sautent). Essaie-donc de voir ce que ça donne en utilisant les conditions $Q(a_2) = b_2$, $Q(a_3) = b_3$ et $Q(a_4) = b_4$.

Encore désolé pour la petite erreur !

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#18 05-06-2020 17:46:00

Bill
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Re : Polynôme formel

D’accord merci pour la rectification, j’ai donc pour:

Q(a2) =b2, on a :

P2(a2)=1, et donc b2P2(a2)=b2
Ensuite, comme P2(a1)=P2(a3)=P2(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

Q(a3) =b3, on a :

P3(a3)=1, et donc b3P3(a3)=b3
Ensuite, comme P3(a1)=P3(a2)=P3(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

Et enfin, pour Q(a4) =b4, on a :

P4(a4)=1, et donc b4P4(a4)=b4
Ensuite, comme P4(a1)=P4(a2)=P4(a3)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4

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#19 05-06-2020 18:39:38

valoukanga
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Re : Polynôme formel

Alors, c'est pas exactement ça. Le problème, c'est qu'il faut combiner toutes les conditions ensemble : je t'éclaire un peu plus.

On veut $Q(a_1) = b_1$ et $Q(a_2) = b_2$ (je ne m'intéresse qu'aux deux premiers pour le moment, pour que tu comprennes l'idée). Moi, j'ai : $P_1(a_1) = 1$, $P_1(a_2) = 0$, $P_2(a_1) = 0$ et $P_2(a_2) = 1$. Je vois alors que le polynôme $Q = b_1P_1 + b_2P_2$ satisfait les deux premières égalités.

En suivant ce raisonnement, tu dois pouvoir trouver un polynôme $Q$ qui convient.

Dernière modification par valoukanga (05-06-2020 18:39:48)

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#20 05-06-2020 19:07:46

Bill
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Re : Polynôme formel

Le polynôme qui conviendrait est donc : Q =b1P1 + b2P2 + b3P3 +b4P4 puisqu’on a pour tout Q(aj) = Pj

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#21 05-06-2020 19:13:44

valoukanga
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Re : Polynôme formel

C'est exactement ça ! Les deux dernières questions sont plus faciles

Dernière modification par valoukanga (05-06-2020 19:14:15)

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#22 05-06-2020 19:15:19

Bill
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Re : Polynôme formel

Ah cool :) merci beaucoup

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