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#1 04-06-2020 11:58:33

roger15
Membre
Inscription : 30-05-2020
Messages : 7

contenu d'un polynôme, antisymétrie

Bonjour,


1) J’aimerais savoir si l'on définit le contenu d'un polynôme constant non nul.

2 ) Soit le polynôme L(T,X) = Q(X) P(T,X) ( L(X,T) est antisymétrique en X et T mais je ne suis pas sûr que cela serve dans ma deuxième question)

Je sais que L(T,X) est primitif en tant que polynôme en X et à cause de l'antisymétrie mentionnée ci-dessus primitif en tant que polynôme en T.

Comment montrer que Q(X) est un polynôme constant ?


Merci

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#2 04-06-2020 12:39:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : contenu d'un polynôme, antisymétrie

Bonjour,

  Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta deuxième question. D'abord, qu'est-ce que ça signifie "primitif en tant que polynôme en $X$"?
Ensuite, est-ce que $L(T,X)=X^2T-T^2X$, $Q(X)=X$ et $P(T,X)=XT-T^2$ n'est pas un contre-exemple à ce que tu demandes?

F.

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#3 04-06-2020 13:10:25

roger15
Membre
Inscription : 30-05-2020
Messages : 7

Re : contenu d'un polynôme, antisymétrie

Bonjour,

Ton exemple n'est pas bon car les coefficients de L(T,X) considéré comme polynôme en X sont T et T^2 qui n'est donc pas un polynôme primitif c'est à dire dont les coefficients son  premiers entre eux dans leur ensemble.

Ce n'est pas non plus un polynôme primitif en T car ses coefficients sont alors X et X^2.

Le fait d'être primitif par rapport à chacune des variables est essentiel.

David

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#4 04-06-2020 18:42:41

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 224

Re : contenu d'un polynôme, antisymétrie

roger15 a écrit :

Bonjour,

Ton exemple n'est pas bon car les coefficients de L(T,X) considéré comme polynôme en X sont T et T^2 qui n'est donc pas un polynôme primitif c'est à dire dont les coefficients son  premiers entre eux dans leur ensemble.

Ce n'est pas non plus un polynôme primitif en T car ses coefficients sont alors X et X^2.

Le fait d'être primitif par rapport à chacune des variables est essentiel.

David

Salut,

si tu penses que le gars qui t'a répondu ne le sait pas, tu fais une belle erreur. D'où sa question, au début de sa réponse.
Et comme ce gars est plutôt du genre discret qui aime rien moins que perdre son temps inutilement, pas sûr qu'il ait envie de revenir t'aider.
Bon courage !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

En ligne

#5 04-06-2020 20:49:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : contenu d'un polynôme, antisymétrie

Freddy a un peu raison. Ces notions sont délicates et j'avoue marcher sur des oeufs (je ne fais pas des polynômes à plusieurs variables primitifs par rapport à l'une tous les jours!). Est-ce que tu ne peux pas dire tout simplement que
$$L(X,T)=-L(T,X)=-Q(T)P(T,X)$$
et donc $Q(T)$ est un diviseur commun à tous les coefficients (en $X$)?

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