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#1 03-06-2020 18:58:22

Boualam
Invité

Diagonaliser une matrice

Bonsoir,

J'ai toujours eu du mal avec cette question : " Est-ce que la matrice "..." est diagonalisable ? " dans les QCM surtout...
J'ai eu très peu d'algèbre en L1 et sur internet je trouve plusieurs réponses ... J'aimerais savoir exactement ce qu'il faut montrer pour affirmer qu'une matrice est diagonalisable et dans quels cas on dit qu'elle est pas diagonalisable? ( si le déterminant = 0 ??)
Merci d'avance pour vos réponses :)

#2 03-06-2020 19:36:45

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 83

Re : Diagonaliser une matrice

Bonsoir !

Pour les critères de diagonalisibilité d'une matrice, tu en as pas mal, je te liste les plus utiles : 

Soit $n \in \mathbb N^*$. Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$, avec $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$.

1) $A$ est diagonalisable $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale, i.e. : $$\exists P \in \textrm{GL}_n(\mathbb K), \exists D \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{  diagonale}, A = PDP^{-1}.$$

2) $A$ est diagonalisable si et seulement si $\sum\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} \dim_{\mathbb K}(E_\lambda(A)) = n$ (avec $E_\lambda(A)$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$).

3) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement s'il existe $P \in \mathbb K[X]$ simplement scindé non nul tel que $P(A) = 0$.

4) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $P(A) = 0$, avec $P = \prod\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} (X-\lambda)$.

N'hésite pas si tu as des questions !

Dernière modification par valoukanga (03-06-2020 19:39:11)

En ligne

#3 04-06-2020 08:18:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 224

Re : Diagonaliser une matrice

Salut,

si je peux me permettre, je te donne aussi ce lien interne, peut-être pourra t-il lui aussi t'éclairer.
Mais peut-être as tu besoin de revenir à encore plus fondamental, je ne sais pas.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 04-06-2020 19:21:02

Boualam
Invité

Re : Diagonaliser une matrice

Bonjour,

Un grand merci pour vos réponses! je vais regarder ça bien et essayer de trouver des exemples pour appliquer ces critères. :)

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