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#326 03-06-2020 11:41:28

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Salut Yoshi, tu t'exprimes bien, c'est comme un passage d'un livre, j'arrive presque à imaginer ta classe

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#327 03-06-2020 16:36:11

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Salut,

Ce prof de Physique était connu dans le Lycée : imagine un visage rougeaud strié de veines bleuâtres autour du nez bien rougeâtre et à partir de 10/11 h du matin, il y avait risque de roulis et de tangage, si tu vois ce que je veux dire...
C'était le spécialiste des expériences ratées.
En 2nde 1ere expérience 1er raté.
Objet de l'expérience : Montrer que le poids est une force.
Imagine un plateau en bois, assez long avec deux rails sur lesquels est posé un chariot.
De l'une des extrémités du chariot part un fil assez solide qui passe sur une poulie fixée en bout du plateau.
Le plateau est posé sur la table du prof de façon à ce que la poulie soit en bout de table et que le fil pende dans le vide...
Au bout du fil un crochet, auquel on accroche une plaque métallique ronde sur laquelle sont disposées des masses marquées.
Sur le chariot sont empilés des livres...
Le prof tenait fermemrnt le chariot.
Le but du jeu était le suivant :
le prof lâche le chariot et les masses marquées au bout du fil font office de poids, la plaque descend entraînant le fil qui tire le chariot..
Mais voilà, ça ne s'est pas passé comme prévu...
Le prof  :
<< Vous allez voir, je lâche le chariot et il va avancer ! >>
(Rien ne se passe)
<< Ah, oui bien sûr, il y a trop de livres ! >>
(Il enlève un livre... Rien ne se passe ! Nous, on rigolait intérieurement...
On savait le pourquoi...)
Il finit par se résoudre à enlever un livre, puis deux, puis tous...
(Rien ne se passait)
<< Bon, oui les roues tournent de mal, il faut les huiler ! >>
(Il va chercher une burette d'huile dans la pièce à côté et s'occupe de graisser les roues.
Rien ne se passait...)
<< Oui, il doit y avoir des saletés sur les rails ! >>
(Hop, il attrape un chiffon et nettoie consciencieusement les rails...
Et... rien ne se passe !)
Et enfin à court d'idées, il finit par s'apercevoir (nous, on le voyait depuis 1/4 h) que :
le support des masses marquées reposait sur le sol et s'était décroché du fil...
Il pouvait bien espérer que le fil tire le chariot !

Bon, alors ce #317 ? Tu as identifié la source de ton souci ? Qu'on puisse en reparler...

@+


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#328 03-06-2020 18:02:55

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Tu vas pas me dire que ton prof arrivait  bourré ?

Dernière modification par yannD (03-06-2020 18:04:21)

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#329 03-06-2020 18:09:31

yannD
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Re : Dm produit scalaire

le point associé à $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $ est symétrique  au point associé à $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) $ du fait je ne comprends pas comment tu trouves $-\dfrac{\pi }{12}$

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#330 03-06-2020 18:12:52

yannD
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Re : Dm produit scalaire

j'aime bien : << Vous allez voir, je lâche le chariot et il va avancer ! >> et rien ne se passe ...

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#331 03-06-2020 20:15:20

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir,

Il te faut repasser par la case départ :

$\cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\quad\Leftrightarrow\quad$ $\begin{cases}2x&=\dfrac{\pi }{6}+2k\pi\\2x&=-\dfrac{\pi }{6}+2k\pi\end{cases}\Leftrightarrow \quad$ $\begin{cases}x&=\dfrac{\pi }{12}+k\pi\\x&=-\dfrac{\pi }{12}+k\pi\end{cases}$

que j'ai rectifié (un 6 et un 12, interverti résultat d'un copier/déplacer hasardeux sur un clavier où 9 touches sont totalement effacées  et 6 en bonne voie de l'être bientôt...)
Sorry !

Pour simplifier, le résultat $x$ est exprimé en fonction de  $\dfrac{\pi}{12}$...
Mais dans l'équation de départ, il y a $2x$...
Et ma vérification porte sur $\cos(2x)$, c'est à dire sur $\cos\left(2\times \dfrac{\pi}{12}\right)$, soit encore $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

C'est que tu voulais savoir ?

@+


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#332 04-06-2020 13:34:44

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi, pourquoi c'est $ + 2k\pi$ pour les 2 premières lignes ?

Dernière modification par yannD (04-06-2020 13:35:29)

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#333 04-06-2020 17:01:56

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

1. On te demande la réponse sur tout $\mathbb R$  et même si on te disait tout de suite sur $[-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;\,2\pi]$, tu devrais commencer par là...
2. Parce que le cosinus et le sinus sont les mêmes modulo $2k\pi$. Ça, c'est la réponse du cours...
3. Plus concrètement, la première réaction serait de dire :
    Bon et bien si $cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ c'est que $2x=\dfrac{\pi}{6}$...
    Alors, déjà il faut penser que $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $
    Donc, c'est soit $2x =\dfrac{\pi}{6}$, soit $2x =-\dfrac{\pi}{6}$ 2 réponses.
    Ensuite  $\mathbb R$ ne se limite pas $[-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;\,2\pi]$
    Donc à partir de ton angle, tu peux faire 1, 2, 3...  k ($k \in \mathbb Z$, par contre) tours complets supplémentaires...
    Donc les solutions s'écrivent :
    $\begin{cases}2x&=\dfrac{\pi }{6}+2k\pi\\2x&=-\dfrac{\pi }{6}+2k\pi\end{cases}$
    Et tu divises les deux membres par 2 (à cause du $2$$x$)
     $\begin{cases}x&=\dfrac{\pi }{12}+k\pi\\x&=-\dfrac{\pi }{12}+k\pi\end{cases}$
    Enfin, la réponse étant attendue (selon les énoncés) entre $[-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;\,2\pi]$, tu dois alors chercher toutes les valeurs de $x$ dans l'intervalle demandé...
    Et pour cela, tu n'as pas d'autre choix que de faire des tests avec k, et de ne garder que les valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle demandé..

C'est plus clair ?


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#334 04-06-2020 19:56:11

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir Yoshi, sur $[-\pi;\pi]$ , je ne peux pas faire de tour complet , donc c'est $2x=\frac{\pi}{6}$

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#335 04-06-2020 21:42:04

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir,

Attention les tours complets supplémentaires portent sur $2x$ :
$2x =\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$
qui donne après division par 2:
$x =\dfrac{\pi}{12}+k\pi$

Et là, Yann, $k\pi$ ne désigne pas des tours complets, mais des demi-tours...
Ce qui veut dire que les seuls k possibles sont -1, 0 et 1...
Je pense que tu comprends que si je prends k=2, $k\pi=2\pi$ et  que
$\dfrac{\pi}{12}+2\pi>\pi$
donc que
* $\dfrac{\pi}{12}+2\pi \not \in [-\pi\,;\,\pi]$

* $\dfrac{\pi}{12}+2\pi \not \in [0\,;\,2\pi]$

Que la demande soit : solutions sur $[-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;2\pi]$, la réponse ci-dessus n'est pas dans l'intervalle demandé, donc à rejeter.
Si l'intervalle auquel doit appartenir la solution est :
* $[-\pi\,;\,\pi]$, même pour k = 1, $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{13\pi}{12}$ n'est pas dans l'intervalle demandé, cette réponse n'est pas acceptée,
* $[0\,;\,2\pi]$,  pour k = 1, $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{13\pi}{12}$ est bien dans l'intervalle demané pas dans l'intervalle demandé, cette réponse est acceptée.

Solutions de cette équation :
*  dans $[-\pi\,;\,\pi]$ sont déjà $\dfrac{\pi}{12}$ et $-\dfrac{\pi}{12}$ qui correspondent à k =0...
   mais si je prends k=1 avec $-\dfrac{\pi}{12}$ et k=-1  avec $\dfrac{\pi}{12}$ , je trouve $x=-\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{11\pi}{12}$ et $x=\dfrac{\pi}{12}-\pi=-\dfrac{11\pi}{12}$ qui sont dans l'intervalle...
  Ensemble des solutions :
  $S=\left \{-\dfrac{11\pi}{12},-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{12},\dfrac{11\pi}{12}\right \}$

* dans $[0\,;\,2\pi]$ il y a déjà $\dfrac{\pi}{12}$  qui correspond à k =0...
    k = 1 donne  encore deux bonnes solutions :
    $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{13\pi}{12}$
    et
   $x=-\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{11\pi}{12}$
   MAIS
    k =2 avec $-\dfrac{\pi}{12}$
     marche aussi :
   $x=-\dfrac{\pi}{12}+2\pi=\dfrac{23\pi}{12}$
     Ensemble des solutions :
   $S=\left \{\dfrac{\pi}{12},\dfrac{11\pi}{12},\dfrac{13\pi}{12},\dfrac{23\pi}{12}\right \}$

   Alors, tu vas me dire : pourquoi y a-t-il 2 solutions différentes selon qu'on choisit un intervalle plutôt que l'autre ?
   C'est une illusion, ce sont les 4 mêmes mais leurs écritures sont différentes...
   En effet $\dfrac{23\pi}{12}= 2\pi -\dfrac{\pi}{12}$. Et modulo $2\pi$ c'est $-\dfrac{\pi}{12}$
   Vérifie sur le cercle trigo : 
   le point M tel que
   $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=\dfrac{23\pi}{12}$
   le point M' tel que
   $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})=-\dfrac{\pi}{12}$
   sont un seul et même point.
   Quant à $\dfrac{13\pi}{12}$ en le ramenant entre $-\pi$ et $\pi$ ce n'est autre que $-\dfrac{11\pi}{12}$
   Les 4 solutions sont bien les mêmes...
   Tout ça parce que $2\pi -0 = 2\pi$  et $\pi-(-\pi)=2\pi$, les deux intervalles ont la même amplitude...

@+

[EDIT]
C'est au pied du mur qu'on voit le maçon... dit l'adage populaire.
Rien de tel que de te lancer pour te permettre de mieux comprendre.
Ainsi que je te l'avais suggéré (au #317), essaie de résoudre
$\cos(4x)=\cos(\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
1. Pour $x\in \,\mathbb R$
2. Pour $x \in \,[0\,;\,2\pi]$
3. Pour $x \in \, [-\pi\,;\,\pi]$

Dernière modification par yoshi (05-06-2020 11:48:23)


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#336 05-06-2020 16:31:29

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir Yoshi , quand on dit l'intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$ il s'agit bien du demi-cercle ?
il y a dans ton post précédent un petit dollar en trop , ce qui donne une partie du texte qui est en italique, j'ai essayé de l'enlever en faisant citer mais ça ne marche pas..

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#337 05-06-2020 17:04:49

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Re,

non 1 tour complet.
Pour aller de $-\pi$ à $\pi$ il faut passer par 0, donc tourner ainsi :
$-\pi$  --> $-\dfrac{\pi}{2}$  --> $0$ --> $\dfrac{\pi}{2}$ --> $\pi$
Ça fait bien un tour complet, non ?

En outre, cher Yann, qu'ai-je écrit là ?

Tout ça parce que $2\pi−0=2\pi$  et $\pi−(−\pi)=2\pi$, les deux intervalles ont la même amplitude..

.
N'as-tu pas l'impression que tu pouvais tirer la réponse à ta question de cette simple phrase ?

@+


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#338 05-06-2020 17:15:11

yannD
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Re : Dm produit scalaire

je ne comprends toujours pas
pourquoi faut-il passer par 0 ?
si on fait le tour du cercle, on ne peut pas passer par 0

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#339 05-06-2020 17:51:16

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bien sûr que si !

Tu ne confondrais pas 0 (zéro) avec la lettre O par hasard ?
Reprends Geogebra.
Trace un cercle de centre O et de rayon 1 dm  (joue avec le zoom si c'est trop gros).
Place les points O, I, J, I', J'
Mets un point M sur le cercle et considère  l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=x$, tel que $-\pi\leqslant x\leqslant \pi$

Démarre avec M sur I'.
Déplace M sur le cercle dans sens positif...
Lorsque l'angle $x$  prend ces valeurs :
$-\pi$  --> $-\dfrac{\pi}{2}$  --> $0$ --> $\dfrac{\pi}{2}$ --> $\pi$
le point M sur le cercle part de I', passe à J', puis I, J et I'...

D'autre part, si je te dis qu'une abscisse $x$ prend toutes les valeurs entre -3 et +3 tu vas encore me dire que $x$ ne passe pas par 0 ?


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#340 05-06-2020 18:47:13

yannD
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Re : Dm produit scalaire

donc c'est I qui vaut 0

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#341 05-06-2020 18:48:48

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

c'est I qui vaut 0

Dans ton esprit, c'est bon..
Ce que tu écris : un point géométrique  c'est un nombre est calamiteux.
Pourquoi pas un fruit = un vêtement, dans ce cas ?

0 c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est en I, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI})$

$\dfrac{\pi}{2}$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est en J, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$...


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#342 05-06-2020 19:02:46

yannD
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Re : Dm produit scalaire

ok, j'ai compris,
mais pour $[-\pi\,,\,\pi]$ j'ai fait tous mes calculs
•  avec $\pi$ à la place de I et
• $-\pi$ à la place de I'
  et c'est pour cela que je t'ai posé cette question au #334

Dernière modification par yannD (05-06-2020 19:03:47)

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#343 05-06-2020 19:21:28

yannD
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Re : Dm produit scalaire

0 c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est en $I$, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI})$

$\dfrac{\pi}{2}$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est en $J$, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$...

D'accord.

si je poursuis, est-ce que je peux dire  :

$\pi$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est sur$ I'$, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI'})$

$-\dfrac{\pi}{2}$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand  M est sur $J'$ , c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ'})$

$-\pi$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est sur $I$ , c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI})$

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#344 05-06-2020 19:53:06

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Re,

$-\pi$ c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est sur $I$ , c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI})$

Cette dernière phrase est fausse :
Si tu pars de  $-\pi$ et que tu t'arrêtes à $\pi$ c'est forcément 0
I' c'est le point de départ  mais aussi le point d'arrivée...
$(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI'})$... c'est $-\pi$ et $+\pi$
#341, je t'ai pourtant écrit :

0 c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ quand M est en I, c'est la valeur de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OI})$


Un tour complet c'est $2\pi$
Si tu fais un tour complet en partant de $-\pi$ tu arrives à $-\pi+2\pi =\pi$

En géométrie classique, sans angles orientés, tu ne ferais pas  la différence :

Ì'                    O                   I
|----------------|---------------|

Si tu mesurais $\widehat{I'OI}$ avec le rapporteur au dessus ou au dessous tu aurais 180° dans les deux cas...

@+


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#345 05-06-2020 20:18:50

yannD
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Re : Dm produit scalaire

donc si la demande est : solutions sur $[-\pi\,;\,\pi]$
est-ce que c'est solutions sur $[0\,;\,-\pi]$ et solutions  sur $[0\,;\,\,\pi]$ ?

Dernière modification par yannD (05-06-2020 20:20:39)

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#346 05-06-2020 20:25:52

yannD
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Re : Dm produit scalaire

y a rien à faire, je n'arrive pas à me représenter dans ma tete l'intervalle  $[-\pi\,;\,\pi]$

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#347 06-06-2020 10:26:31

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour,

Si tu n'arrives pas "à représenter dans ta tête", pourquoi ne fais-tu pas un dessin ?
Tiens, en v'la un :
https://www.cjoint.com/c/JFgjuqsEPAW

Si on te dit que l'intervalle auquel doivent appartenir les solutions est $[-\pi\,;\,\pi]$, cela signifie que la valeur minimum de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ est $-\pi$ et qu'elle croît jusqu'à $\pi$...

Si la mesure de $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ est négative  - et sur mon dessin c'est le cas des angles $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}),$ $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM_1}),$  $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM_2}),$ $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM_3}),$ $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM_4})$ - alors l'angle dont tourne $\overrightarrow{OI}$ pour rejoindre $\overrightarrow{OM_i})$ est mesuré en tournant dans le sens négatif : c'est pourquoi mes arcs de cercle orientés sont tracés au dessous de l'axe des cosinus et tournent dans le sens négatif...


@+


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#348 07-06-2020 12:05:21

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi,

$\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
1. Pour $x\in \,\mathbb R$
2. Pour $x \in \,[0\,;\,2\pi]$
3. Pour $x \in \, [-\pi\,;\,\pi]$

   $\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ c'est que $4x = \dfrac{\pi}{6}$

   et $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ donc $ 4x = \dfrac{\pi}{6}$ et $ 4x = -\dfrac{\pi}{6}$

  $\begin {cases}4x&  = \dfrac{\pi}{ 6}+ k\times 2\pi\\4x&  = -\dfrac{\pi}{6}+k\times2\pi\end{cases}<=>\begin{cases}x & = \dfrac{\pi}{24}+ k \times \frac 1 2 \pi\\ x& = -\dfrac{\pi}{24}+ k\times \frac 1 2  \pi\end{cases}$

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#349 07-06-2020 12:55:41

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Re,

1ere étape réussie...

@+


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#350 07-06-2020 14:12:35

yannD
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Re : Dm produit scalaire

--> $ x=\dfrac{\pi }{24}+k\dfrac{\pi}{2}$
k=2, $x = \dfrac{\pi}{24} + \pi = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{24\pi}{24} = \dfrac{25\pi}{24} $
$ \dfrac{25\pi}{24} \in [0\,;\,2\pi]$
k=1, $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24}+ \dfrac{12\pi}{24} = \dfrac{13\pi}{24}$
$\dfrac{13\pi}{24} \in [0\,;\,2\pi]$
k=0, $x=\dfrac{\pi}{24}$
$\dfrac{\pi}{24}\in [0\,;\,2\pi]$
k=-1, $ x=\dfrac{\pi}{24} + -\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} - \dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{11\pi}{24}$
$-\dfrac{11\pi}{24}\in [0\,;\,2\pi]$
k=-2, $x=\dfrac{\pi}{24} - \pi = \dfrac{\pi}{24} - \dfrac{24\pi}{24} = -  \dfrac{23\pi}{24}$
$-  \dfrac{23\pi}{24} \in [0\,;\,2\pi]$

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