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#1 02-06-2020 13:33:02

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

Divisibilité par 8

Soit n un entier naturel strictement positif
si n est impair alors n²-1 est divisible par 8
preuve:
n impaire donc il existe un entier naturel k tel que n=2k+1
n²-1=(2k+1)²-1=(2k+1)²-1²=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)2k
=2(k+1)2k=4k(k+1)
montrons par récurrence que pour tout entier naturel k, k(k+1) est pair
pour k=0 on a k(k+1)=0 donc c'est vérifiée
soit k un entier naturel tel que k(k+1) est pair
on a (k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)k+(k+1)2
donc (k+1)(k+2) est la somme de deux entiers naturels pair, et donc pair
d'où pour tout entier k, k(k+1) est pair
repartant de notre égalité, il existe une entier naturel m tel que k(k+1)=2m
donc n²-1=4k2m=8km CQFD

que pensez-vous de cette démonstration?

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#2 02-06-2020 13:56:56

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 150

Re : Divisibilité par 8

Bonjour !

Ta preuve est juste. Cependant, je pense que la récurrence pour montrer que $k(k+1)$ est pair est inutile. Tu peux plutôt dire que soit $k$ soit $k+1$ est pair, donc le produit est nécessairement un nombre pair.

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#3 02-06-2020 14:00:29

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

Re : Divisibilité par 8

aah ouiii tu as raison, merci beaucoup "valoukanga"

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#4 02-06-2020 15:47:40

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 333

Re : Divisibilité par 8

Salut,

j'irais une poil plus vite, en ce sens que tu as ce terme $4k(k+1)$, remarquer que le produit de deux termes entiers consécutifs est nécessairement pair et conclure que $4k(k+1)$ est un multiple de 8.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 02-06-2020 19:56:40

adnanemohib99
Membre
Inscription : 02-06-2020
Messages : 11

Re : Divisibilité par 8

merci beaucoup

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