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Tmota

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Partie génératrice d'un groupe

Bonjour,

je cherche à comprendre pourquoi la construction suivante permet d'obtenir une partie génératrice d'un groupe $(G,.)$ noté multiplicativement, en supposant ce dernier de cardinal fini $n\ge 2$ :

$g_1\in G$ avec $g_1\neq e$

$g_2\not\in <g_1>$

$g_3\not\in <g_1,g_2>$

etc

$g_p\not\in <g_1,g_2,...,g_{p-1}>$.

Processus qui s'arrête pour un certain $p\in\mathbb{Z}$ vu que $G$ est fini.

On peut alors écrire $G=<g_1,...,g_p>$.
Je comprends l'esprit de la construction, mais je n'arrive pas à justifier que c'est bien une partie génératrice.
En fait, les nombreuses situations que j'ai pu étudier, c'est les cas où la partie est engendrée par un élément. Je sais alors que :

$<g>=\{g^k\mid k\in\mathbb{Z}\}$

Ici, avec $p$ éléments, je m'y perds un peu.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

valoukanga

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Re : Partie génératrice d'un groupe

Bonjour !

Ton procédé s'arrête avant de commencer au rang $p+1$, c'est-à-dire que tu n'arrives pas trouver un élément de $G$, disons $g$, tel que $g \notin \langle g_1, \cdots, g_p \rangle$. En traduisant en termes de quantificateurs, cela veut dire que : $\not\exists g \in G$, $g \notin \langle g_1, \cdots, g_p \rangle$. Autrement dit, en prenant la négation : $\forall g \in G$, $g \in \langle g_1, \cdots, g_p \rangle$, ce qui montre bien que $G = \langle g_1, \cdots, g_p \rangle$.

Est-ce plus clair ?

Tmota

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Re : Partie génératrice d'un groupe

Bonsoir !
Merci de votre réponse ! Ce qui veut donc dire que tout élément de $g$ va s'écrire "comme combinaison des éléments $g_1,\cdots,g_p$.
Mais pour l'écriture $<g_1,\cdots, g_p>$, de façon ensembliste, qu'est-ce qu'elle signifie ?

valoukanga

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Re : Partie génératrice d'un groupe

$\langle g_1, \cdots, g_p \rangle = \{x_1^{\varepsilon_1}x_2^{\varepsilon_2}\cdots x_n^{\varepsilon_n}, n \in \mathbb N, \forall i \in \{1,...,n\}, x_i \in \{g_1,\cdots,g_p\}, \varepsilon_i = \pm 1\}$.

Avec des mots et d'une manière moins barbare, $\langle g_1, \cdots, g_p \rangle$, c'est le sous-groupe où tous les éléments sont des produits des $g_1$, ..., $g_p$ ou de leurs inverses.