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#1 25-05-2020 13:51:28

Saserins
Invité

décomposition en série de Fourier

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

Montrer que pour 0<x<pi  on a à la fois :

[tex]x (\pi -x) = \frac{\pi ^2}{6} - \sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{cos(2nx) }{n^2}}        et       x (\pi -x) = 8/\pi \sum\limits_{n=0}^{+\infty}{\frac{sin((2n+1)*x)}{(2n+1)^3}}[/tex]


Voilà, bon je suis un perdu, j'ai déjà posé la question à quelques personnes, et je sais qu'il y a une histoire de fonction paires et impaires.
Cependant après certaines aides je n'ai jamais réussi à trouver la solution finale.

De ce que j'ai compris, nous avons donc sur ]-pi,0[  la fonction que l'on va appelé g,  -g(x), soit  x(x - pi) . Ensuite sur [0,pi], nous avons g(x)=f(x) soit la fonction x(pi-x).  J'ai donc essayé de calculer tout d'abord le a0, cependant je ne trouve pas de résultat correspondant à pi2/6   ou 8/pi comme le montre le résultat.

Je trouve :

[tex]\int_{-\pi }^{0}{x(x-\pi)} + \int_{0}^\pi{}{x(\pi -x)} = [x^3/3 - x^2*\pi /2] + [x^2*\pi /2 - x^3/3 ] = -2*\pi ^3/3[/tex]


Puis après je me suis dis que si je prends la fonction qui est impaire, que j'appelle g, on écrit :

[tex]b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)sin(nt) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} g(t)sin(nt) [/tex] = [tex]\frac{2}\pi {} * \int_{0}^{\pi }{(-x^2+x*\pi )*sin(nx) dx} = [-x^2+x*\pi *(-cos(nx)/n)] - \frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{-cos(n*x)/n} = 0[/tex]


Je trouve cela ..

#2 25-05-2020 21:13:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

  Moi je m'y prendrai ainsi. Soit $h(x)=x(\pi-x)$ définie sur $[0,\pi]$.

1. Je considère la fonction $f$ paire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $f(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, $f(x)=f(-x)=h(-x)=-x(\pi+x)$.
Ensuite, je décompose $f$ en série de Fourier, et on devrait trouver ton premier résultat
(j'ai fait le calcul de $a_0$, j'ai bien trouvé $\pi^2/6$).

2. Je considère la fonction $g$ impaire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $g(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, on a $g(x)=-g(-x)=-h(-x)=x(\pi+x)$.
Et je décompose $g$ en série de Fourier pour trouver le deuxième résultat.

F.

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#3 25-05-2020 21:25:27

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 32

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

Il faut bien faire un DL de Fourier.
Voici quelques indications  sur une manière.

La fonction f(x)=x([tex]\pi[/tex]-x) est continue par morceaux sur R et 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

f(x) =[tex]\dfrac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))[/tex] (1)

Comme f est impair les coefficients an sont nuls quelque soit n [tex]\in N^*[/tex]. il reste à calculer  les bn.

[tex]b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}x(\pi -x) sin(nx)dx[/tex]

Comme est continue par morceaux sur R et 2π-périodique et de classe C1 par morceaux sur R, vous pouvez appliquer le théorème de DIRICHLET qui dit que la série de FOURIER de f converge vers f sur R. Donc pour tout x [tex]\in R[/tex] on peut calculer (1).




.

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#4 25-05-2020 23:27:40

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 32

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

@Fred, il me semble que a0 qui représente la valeur moyenne de f sur une période vaut 0. Pourriez-vous m'expliquez pourquoi je me trompe.

Hors ligne

#5 26-05-2020 10:46:16

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

Fred a écrit :

Bonjour,

  Moi je m'y prendrai ainsi. Soit $h(x)=x(\pi-x)$ définie sur $[0,\pi]$.

1. Je considère la fonction $f$ paire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $f(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, $f(x)=f(-x)=h(-x)=-x(\pi+x)$.
Ensuite, je décompose $f$ en série de Fourier, et on devrait trouver ton premier résultat
(j'ai fait le calcul de $a_0$, j'ai bien trouvé $\pi^2/6$).

2. Je considère la fonction $g$ impaire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $g(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, on a $g(x)=-g(-x)=-h(-x)=x(\pi+x)$.
Et je décompose $g$ en série de Fourier pour trouver le deuxième résultat.

F.


Ok j'ai trouvé le bon ao, par contre j'essaie de calculer la décomposition avec double ipp etc. Je ne tombe pas sur le bon résultat, cependant je ne vois pas comment on peut obtenir le sin(2nx), comment le "2" arrive dans ce sinus ???

#6 26-05-2020 10:49:50

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

Saserins a écrit :
Fred a écrit :

Bonjour,

  Moi je m'y prendrai ainsi. Soit $h(x)=x(\pi-x)$ définie sur $[0,\pi]$.

1. Je considère la fonction $f$ paire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $f(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, $f(x)=f(-x)=h(-x)=-x(\pi+x)$.
Ensuite, je décompose $f$ en série de Fourier, et on devrait trouver ton premier résultat
(j'ai fait le calcul de $a_0$, j'ai bien trouvé $\pi^2/6$).

2. Je considère la fonction $g$ impaire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $g(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, on a $g(x)=-g(-x)=-h(-x)=x(\pi+x)$.
Et je décompose $g$ en série de Fourier pour trouver le deuxième résultat.

F.


Ok j'ai trouvé le bon ao, par contre j'essaie de calculer la décomposition avec double ipp etc. Je ne tombe pas sur le bon résultat, cependant je ne vois pas comment on peut obtenir le sin(2nx), comment le "2" arrive dans ce sinus ???

Edit : cos(2nx) pardons

Comment fait-on pour edit ?

#7 26-05-2020 11:39:22

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 32

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

En calculant bn vous devez trouver quelque chose avec du $(-1)^n)$ , pour n pair cela vaut 0 et n impair donc du type 2n+1 c'est non nul.

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#8 26-05-2020 13:06:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : décomposition en série de Fourier

Je suis d'accord avec LCTD. Pour éditer un message, il faut d'abord créer un compte sur le forum.

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#9 26-05-2020 15:46:59

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

D'accord merci beaucoup pour vos réponses. Pour l'instant je trouve pour le côté gauche (du résultat demandé) : [tex]\frac{-2\pi *(1+(-1)^n}{n^2}*cos(nx) [/tex]

Je vais encore chercher et refaire mon calcul.

#10 26-05-2020 19:05:23

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

LCTD a écrit :

Bonjour,

Il faut bien faire un DL de Fourier.
Voici quelques indications  sur une manière.

La fonction f(x)=x([tex]\pi[/tex]-x) est continue par morceaux sur R et 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

f(x) =[tex]\dfrac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))[/tex] (1)

Comme f est impair les coefficients an sont nuls quelque soit n [tex]\in N^*[/tex]. il reste à calculer  les bn.

[tex]b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}x(\pi -x) sin(nx)dx[/tex]

Comme est continue par morceaux sur R et 2π-périodique et de classe C1 par morceaux sur R, vous pouvez appliquer le théorème de DIRICHLET qui dit que la série de FOURIER de f converge vers f sur R. Donc pour tout x [tex]\in R[/tex] on peut calculer (1).




.


Pour bn c'est bon, par contre pour an, je dois multiplier par 1/pi par 2/pi l'intégrale, est-ce normal ?

#11 26-05-2020 19:06:51

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

1/pi pas* 2/pi

Pour bn c'est bon, par contre pour an, je dois multiplier par 1/pi par 2/pi l'intégrale, est-ce normal ?

#12 26-05-2020 20:51:31

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

Finalement oubliez ce que j'ai dis. J'ai finis par trouver. Merci beaucoup pour vos réponses claires et rapides !

#13 26-05-2020 20:58:56

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 32

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

rappel du cours :

pour une fonction ni pair ni impair :

$a_n=\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}f(x) cos(nx)dx $ et $b_n=\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}f(x) sin(nx)dx$

pour une fonction impair :

$a_n=0$ et $b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx $

pour une fonction pair :
$a_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) cos(nx)dx$ et $b_n =0$

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#14 27-05-2020 09:23:36

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour, je trouve tout les bons résultats sauf pour a, d'après le cours, je dois calculer :


[tex]\frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi }{x(\pi -x) dx}[/tex]     ,     je ne vois pas où est l'erreur ...

#15 27-05-2020 09:49:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : décomposition en série de Fourier

Il y a deux écoles pour définir $a_0$ : ou bien on divise par $\pi$, ou bien on divise par $2\pi$. Il faut juste écrire correctement les séries de Fourier ou le théorème de Parseval en tenant compte de cette normalisation (dans un cas, la série de Fourier sera $a_0+\sum....$, dans l'autre cas $\frac{a_0}2+\sum...$.

F.

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#16 27-05-2020 09:59:34

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

J'ai essayé avec pi, effectivement si je divise ao par deux cela fonctionne, mais par contre je ne connaissais pas cette formule, pourquoi divise t-on a0 par 2 ? Je ne vois pas ce cas dans mon cours.

$= \frac{1}{\pi } * \int_{0}^{\pi }{x(\pi -x)dx}$      Soit      $\pi a_0 = [\frac{x^2*\pi }{2} - \frac{x^3}{3}]$      pour     0     et     $ \pi$   puis     je     trouve    $\frac{2\pi ^2}{6}$

Dernière modification par yoshi (27-05-2020 10:19:53)

#17 27-05-2020 10:18:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : décomposition en série de Fourier

Ce que je dis, c'est que ça dépend des cours.
Par exemple, sur ce site, la définition de $a_0$ n'est sans doute pas celle de ton cours, car il est divisé par deux. Mais, en compensation, la définition de la série de Fourier ne doit pas non plus être celle de ton cours.

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#18 27-05-2020 11:23:50

Saserins
Invité

Re : décomposition en série de Fourier

D'accord, mais pour moi, f étant 2pi-périodique, le a0 vaut ce que vous mettez sur votre site, mais si je reprends votre formule, le résultat n'est pas le bon. Plus haut, pour moi le calcul n'est pas logique non plus, car on devrait additionner les 2 intégrales entre 0 et pi car f est paire, mais au final, je ne trouve jamais ce qu'il faut.

Merci encore du temps mis à me répondre.

#19 27-05-2020 17:13:21

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 32

Re : décomposition en série de Fourier

Bonjour,

Comme la fonction est 2-$\pi$ périodique, on peut calculer l'intégrale sur n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$, ici il faut calculer $a_0$ entre $-\pi$ et $\pi$ au lieu de 0 et $2\pi$

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