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#1 26-05-2020 21:47:03

clair
Invité

Algebre Polynome reductible / Matrice

Bonjour les boss des maths,
J'ai cet exercice, j'ai fait la 1 ere et je bloque à la 2eme je ne comprends pas comment pourrais-je trouver le polynome? Je n'ai pas du tout d'idée
On considère la matrice suivante :
A =
0 0 −1
1 0 −1
0 1 −1

1. Calculer A^2 puis A^3 , et en déduire que I3 + A + A^2 + A^3 = 0.

2. Pour n ∈ N, calculer le reste de la division euclidienne de X^n par la polynôme
P(X) = 1 + X + X^2 + X^3 . On pourra s’aider du fait que P possède 3 racines
distinctes dans C, `a savoir −1, i et −i, et que le polynôme cherché ne dépend
que du reste de la division euclidienne de n par 4.

3. En déduire l’expression de An pour tout entier naturel n. Parmi les groupes
que vous avez pu rencontrer, donner celui qui est isomorphe au sous-groupe
de (GL3, ×) engendré par la matrice A.

#2 26-05-2020 22:27:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Bonjour,

  Je commencerai par écrire $X^n = (1+X+X^2+X^3)Q(X)+(aX^2+bX+c)$.
Tu évalues ensuite cette égalité en $-1$. Tu obtiens $(-1)^2=0+a-b+c$.
Puis tu fais pareil en $i$ et en $-i$, et tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues....

F.

Hors ligne

#3 26-05-2020 23:17:16

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Bonjour,

  Je commencerai par écrire $X^n = (1+X+X^2+X^3)Q(X)+(aX^2+bX+c)$.
Tu évalues ensuite cette égalité en $-1$. Tu obtiens $(-1)^2=0+a-b+c$.
Puis tu fais pareil en $i$ et en $-i$, et tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues....

F.

Ce que je ne comprends pas est ce passage "t que le polynôme cherché ne dépend que du reste de la division euclidienne de n par 4."

#4 26-05-2020 23:22:35

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

clair a écrit :
Fred a écrit :

Bonjour,

  Je commencerai par écrire $X^n = (1+X+X^2+X^3)Q(X)+(aX^2+bX+c)$.
Tu évalues ensuite cette égalité en $-1$. Tu obtiens $(-1)^2=0+a-b+c$.
Puis tu fais pareil en $i$ et en $-i$, et tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues....

F.

Ce que je ne comprends pas est ce passage "t que le polynôme cherché ne dépend que du reste de la division euclidienne de n par 4."

autre remarque, pourquoi vous avez $(-1)^2$ et non pas $(-1)^n$?

#5 27-05-2020 06:04:07

Fred
Administrateur
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Messages : 5 627

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Pardon, c'est $(-1)^n$....

Tout ceci ne va dépendre que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$ car tu vas faire intervenir $(-1)^n$, $i^n$ et $(-i)^n$, et ces trois nombres ne dépendent que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$.

Hors ligne

#6 27-05-2020 08:58:06

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Pardon, c'est $(-1)^n$....

Tout ceci ne va dépendre que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$ car tu vas faire intervenir $(-1)^n$, $i^n$ et $(-i)^n$, et ces trois nombres ne dépendent que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$.

Oh je vois donc je doit faire une sorte de disjonction de cas, si n mod(4) = 0, cela veut dire que n pair j'obtient des valeurs,... et si n mod(4)=1 , n impair et j'obtient d'autres valeurs. N'est ce pas?

#7 27-05-2020 09:11:49

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

clair a écrit :
Fred a écrit :

Pardon, c'est $(-1)^n$....

Tout ceci ne va dépendre que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$ car tu vas faire intervenir $(-1)^n$, $i^n$ et $(-i)^n$, et ces trois nombres ne dépendent que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$.

Oh je vois donc je doit faire une sorte de disjonction de cas, si n mod(4) = 0, cela veut dire que n pair j'obtient des valeurs,... et si n mod(4)=1 , n impair et j'obtient d'autres valeurs. N'est ce pas?


Euh je reviens sur ce que j'ai dit, ce n'est pas comme ça car pour -1 ça fonctionnerait mais pour i non etant donné que sa puissance varient dans : -1,i,-i,1. Donc je sais pas comment faire :( :(

#8 27-05-2020 09:15:31

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

clair a écrit :
clair a écrit :
Fred a écrit :

Pardon, c'est $(-1)^n$....

Tout ceci ne va dépendre que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$ car tu vas faire intervenir $(-1)^n$, $i^n$ et $(-i)^n$, et ces trois nombres ne dépendent que du reste de $n$ dans la division euclidienne de $n$ par $4$.

Oh je vois donc je doit faire une sorte de disjonction de cas, si n mod(4) = 0, cela veut dire que n pair j'obtient des valeurs,... et si n mod(4)=1 , n impair et j'obtient d'autres valeurs. N'est ce pas?


Euh je reviens sur ce que j'ai dit, ce n'est pas comme ça car pour -1 ça fonctionnerait mais pour i non etant donné que sa puissance varient dans : -1,i,-i,1. Donc je sais pas comment faire :( :(



AH peut être que j'ai trouvé une idée, on sait qu'une puissance de i s'écrit $4k+r$ et donc traiter $i^n$ bah c'est comme ci qu'on traité $i^r$ non?

#9 27-05-2020 09:29:13

Fred
Administrateur
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Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Oui.

Hors ligne

#10 27-05-2020 09:35:58

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Oui.

D'accord, je viens de faire j'ai obtenu les 4 polynome. Pour la 3 j'y arriv pas, je sais que c'est juste une déduction à faire des 2 premieres question mais je ne vois pas trop :/ :/

#11 27-05-2020 09:48:01

Fred
Administrateur
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Messages : 5 627

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Re-

  Si tu as écrit $X^n=Q_n(X)(1+X+X^2+X^3)+(a_n X^2+b_n X+c_n)$, alors tu en déduis que
$A^n=a_n A^2+b_n A+c_n I_n$. Après, sans savoir ce que valent $a_n$, $b_n$ et $c_n$, difficile
de savoir à quel groupe cela va s'identifier....

F.

Hors ligne

#12 27-05-2020 09:52:29

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Re-

  Si tu as écrit $X^n=Q_n(X)(1+X+X^2+X^3)+(a_n X^2+b_n X+c_n)$, alors tu en déduis que
$A^n=a_n A^2+b_n A+c_n I_n$. Après, sans savoir ce que valent $a_n$, $b_n$ et $c_n$, difficile
de savoir à quel groupe cela va s'identifier....

F.

du coup vous prenez $Q(X) = 0$
J'ai trouvé : $2X^2+1$ ,   $X$,    $X^2-X-1$ ,  polynôme nul

#13 27-05-2020 10:16:25

Fred
Administrateur
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Messages : 5 627

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Non, je ne prends pas du tout $Q(X)$ ou $Q(A)=0$. C'est parce que tu as démontré que $I_n+A+A^2+A^3=0$.
Ca m'étonnerait beaucoup qu'on trouve le polynôme nul à un moment donné (pour n=3 j'imagine), sinon, cela voudrait dire que $A^3=0$...

En fait, je pense que les polynômes que tu dois trouver sont $1,X,X^2,X^3$, puisque ce ne dépend que du reste dans la division euclidienne de $n$ par $4$, et que tu sais quel est le reste pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$...

F.

Hors ligne

#14 27-05-2020 10:21:01

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Non, je ne prends pas du tout $Q(X)$ ou $Q(A)=0$. C'est parce que tu as démontré que $I_n+A+A^2+A^3=0$.
Ca m'étonnerait beaucoup qu'on trouve le polynôme nul à un moment donné (pour n=3 j'imagine), sinon, cela voudrait dire que $A^3=0$...

En fait, je pense que les polynômes que tu dois trouver sont $1,X,X^2,X^3$, puisque ce ne dépend que du reste dans la division euclidienne de $n$ par $4$, et que tu sais quel est le reste pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$...

F.

Oui pour r=3, peut être j'ai fait des erreurs de calcul. Mais du coup si j'avais trouvé $1,X,X^2,X^3$, comment répondre à la suite de la question?

#15 27-05-2020 12:49:15

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

clair a écrit :
Fred a écrit :

Non, je ne prends pas du tout $Q(X)$ ou $Q(A)=0$. C'est parce que tu as démontré que $I_n+A+A^2+A^3=0$.
Ca m'étonnerait beaucoup qu'on trouve le polynôme nul à un moment donné (pour n=3 j'imagine), sinon, cela voudrait dire que $A^3=0$...

En fait, je pense que les polynômes que tu dois trouver sont $1,X,X^2,X^3$, puisque ce ne dépend que du reste dans la division euclidienne de $n$ par $4$, et que tu sais quel est le reste pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$...

F.

Oui pour r=3, peut être j'ai fait des erreurs de calcul. Mais du coup si j'avais trouvé $1,X,X^2,X^3$, comment répondre à la suite de la question?


J'ai refait et j'ai trouvé : $X^2$, $X$, $1$, $-X^2-X-1$
Comment répondre à la suite s'il vous plait, je ne comprends pas trop cette histoire de groupe?

#16 27-05-2020 12:53:18

clair
Invité

Re : Algebre Polynome reductible / Matrice

Fred a écrit :

Non, je ne prends pas du tout $Q(X)$ ou $Q(A)=0$. C'est parce que tu as démontré que $I_n+A+A^2+A^3=0$.
Ca m'étonnerait beaucoup qu'on trouve le polynôme nul à un moment donné (pour n=3 j'imagine), sinon, cela voudrait dire que $A^3=0$...

En fait, je pense que les polynômes que tu dois trouver sont $1,X,X^2,X^3$, puisque ce ne dépend que du reste dans la division euclidienne de $n$ par $4$, et que tu sais quel est le reste pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$...

F.

Je ne vois pas pourquoi vous dites $X^3$ alors que le reste c'est $aX^2+bX+c$ et il n'y a pas de $X^3$

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