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#1 20-05-2020 18:29:56

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 122

Valeurs propres d'une edo

Bonjour
on considère le problème aux limites $$

\begin{cases}
y''+ \lambda y &=~0\\
y(0)-2 y(2 \pi)&=~0\\
y'(0)-y'(2\pi)&=~0
\end{cases}

$$ On dit que $\lambda$ est une valeur propre du problème au limite si et seulement si la solution associée n'est pas triviale.
La question est : comment montrer qu'un nombre complexe ne peut pas être une valeur propre de ce problème aux limites ?

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#2 20-05-2020 18:37:23

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
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Re : Valeurs propres d'une edo

Bonjour,
Un nombre complexe, c'est à dire ? Tu veux dire un nombre complexe à partie imaginaire non nulle ou partie réelle nulle ?

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#3 20-05-2020 19:10:13

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 122

Re : Valeurs propres d'une edo

je veux dire qu'un nombre complexe à partie imaginaire non nulle ne peut pas être une valeur propre. Comment le démontrer?

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#4 21-05-2020 11:36:17

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Valeurs propres d'une edo

Bonjour,
as tu tenté de résoudre explicitement cette équation différentielle et d'écrire les conditions aux limites ?

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#5 26-05-2020 11:24:44

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 122

Re : Valeurs propres d'une edo

Bonjour
on considère le problème
$$
\begin{cases}
y''+\lambda y=0\\
y(0)-2 y(2 \pi)=0\\
y'(0)-y'(2\pi)=0
\end{cases}
$$
je cherche à montrer que $\lambda = a+i b$ avec $b \neq 0$ ne peut pas être une valeur propre, c'est à dire que ce $\lambda$ donnera une solution trivial $y=0$.
j'écris ceci:
en multipliant les deux membre de l'équation par $\bar{y}$ et en intégrant sur $[0,2\pi]$ on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx + \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx =0
$$
l'ipp nous donne que $\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx= [y \bar{y}']_0^{2\pi}-\displaystyle\int_0^{2\pi} y' \bar{y}' dx=  [y \bar{y}']_0^{2\pi} - [y \bar{y}]_0^{2\pi}$
Donc on a
$$
[y \bar{y}']_0^{2\pi} - [y \bar{y}]_0^{2\pi}+ \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx=0.
$$
J'ai des difficultés à conclure car le membre de droite de la dernière égalité n'est pas zéro. Comment faire?

Cordialement

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#6 27-05-2020 07:57:04

aviateur
Membre
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Messages : 189

Re : Valeurs propres d'une edo

Bonjour 
Sait tu intégrer par parties? 
D'ailleurs on retrouve les mêmes erreurs qu'ici

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#7 27-05-2020 10:09:15

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 122

Re : Valeurs propres d'une edo

Oui je sais intégrer par partie et je ne cesse de refaire le calcul, je trouve la même chose
$$
\displaystyle\int_0^{2\pi} y'' \bar{y} dx = [y' \bar{y}]_0^{2\pi}- \displaystyle\int_0^{2\pi} y' \bar{y}' dx.
$$
Où est l'erreur?

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#8 27-05-2020 10:16:47

aviateur
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Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Valeurs propres d'une edo

Tu dis savoir mais:   déjà #7  c'est pas le même que #5, alors?
Ensuite dans #5   qu'est devenu $\int_0^{2\pi}   y'\bar{y'} dx $?

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#9 27-05-2020 10:18:00

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Valeurs propres d'une edo

Tu dis savoir mais:   déjà #7  c'est pas le même que #5, alors?
Ensuite dans #5   qu'est devenu $\int_0^{2\pi}   y'\bar{y'} dx $?

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#10 27-05-2020 10:35:30

mati
Membre
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Messages : 122

Re : Valeurs propres d'une edo

Pardon j'ai fait une énorme erreur de calcul.
On obtient ceci:
$$
y'(2\pi) \bar{y}(2\pi) -y'(0) \bar{y}(0) -\displaystyle\int_{0}^{2\pi} y' \bar{y}' dx + \lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} y \bar{y} dx =0.
$$
En utilisant les conditions aux limites (donc $\bar{y}(0)= 2 y(2\pi)$ et $y'(0)= y'(2\pi)$ on a
$$
-y'(2\pi) \bar{y}(2\pi) -\displaystyle\int_0^{2\pi} \bar{y}' y' dx +\lambda \displaystyle\int_0^{2\pi} \bar{y} y dx =0
$$
J'ai du mal à conclure avec tout ça. Dans mon esprit il faut conclure que $y=0$, mais là je ne vois pas comment.

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