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#1 26-05-2020 12:26:03

Bill
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Séries de fonctions

Bonjour,
En travaillant sur les séries de fonctions, je suis tombé sur un cas que j’ai un peu de mal à aborder voici l’énoncé:

Soit a>0 un réel strictement positif. Soit phi: [-a,a] -> R une fonction continue sur [-a,a] qui vérifie : il existe une constante C>0 telle que pour tout x€[-a,a], |phi|<=C|x|. L’objectif de l’exercice est de déterminer les fonctions f: [-a,a] -> R telles que f(0) =0 et vérifiant la relation :
Pourtout x [-a,a], f(x)-f(x/2) =phi(x)   (E)

1) montrer que la série de fonction \sum phi (x/2^n) est normalement convergente sur [-a,a]. On note f la somme de cette série.
2) montrer que f est continue, que f(0) =0, et que f vérifie la relation (E).
3) montrer que f est l’unique solution de (E) vérifiant f(0) =0.
4) on suppose de plus que phi est dérivable sur [-a,a] et que sa dérivée est bornée sur [-a,a]. Montrer que f est dérivable sur [-a,a].

Merci pour votre aide.

Dernière modification par Bill (26-05-2020 12:30:37)

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#2 26-05-2020 13:41:09

Fred
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Re : Séries de fonctions

Bonjour Bill,

  Tu trouveras de l'aide ici, mais il faut reprendre les choses dans le bon ordre. Qu'as-tu fait?

F.

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#3 26-05-2020 13:53:01

Bill
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Re : Séries de fonctions

Pour la 1)J’ai pensé commencer par majorer la relation (E) par : phi(x) <=C|x| et remplacer x par x/2^n ce qui me donne : f(x/2^n) - f(x/2^n+1) <=C|x/2^n|

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#4 26-05-2020 13:55:25

Fred
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Re : Séries de fonctions

C'est un bon début. Quelle est ta stratégie pour prouver la convergence normale sur [-a,a]?

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#5 26-05-2020 14:05:08

Bill
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Re : Séries de fonctions

fixé un x €[-a,a] et essayer à nouveau de majorer l’expression précédente par a/2^n tout en considérant a >0 et que a /2^n ne dépende pas de x. J’sais pas si la réflexion est bonne

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#6 26-05-2020 19:10:20

Fred
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Re : Séries de fonctions

Donc tu sais faire la première question.... La deuxième ne devrait pas te poser de difficultés...

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#7 26-05-2020 22:54:47

Bill
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Re : Séries de fonctions

Pour la deuxième, j’ai juste à appliquer la définition de la continuité ? Dans notre cas f sera continue si et seulement si la limite de f quand x tend vers zéro est égale à f(0) qui doit être égale à zéro ?
Que veut dire f vérifie la relation (E) ?

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#8 27-05-2020 05:02:47

Fred
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Re : Séries de fonctions

$f$ est la somme d'une série de fontions : tu as un théorème dans ton cours qui t'assure que la somme d'une série de fonctions est continue.

Dire que $f$ vérifie la relation (E), c'est dire que pour tout $x\in[-a,a]$, $f(x)-f(x/2)=\phi(x)$.

F.

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#9 27-05-2020 09:38:28

Bill
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Re : Séries de fonctions

Parfait merci, du coup pour la 3) je pensais partir sur une autre série g qui vérifierait les mêmes hypothèses que f puis aboutir à une contradiction, mais je ne vois pas comment matérialiser cette réflexion

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#10 27-05-2020 11:23:45

Fred
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Re : Séries de fonctions

Tu n'es pas sûr que $g$ est définie par une série... Je partirais d'une autre fonction $g$ vérifiant $(E)$, différente de $f$, donc $f(x_0)\neq g(x_0)$, puis j'exploiterait la relation $f(x)-g(x)=f(x/2)-g(x/2)$ pour en déduire que $f(0)\neq g(0)$...

F.

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#11 27-05-2020 11:48:22

Bill
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Re : Séries de fonctions

Je vois, merci beaucoup

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#12 28-05-2020 08:24:35

Bill
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Re : Séries de fonctions

J’arrive pas à trouver f(0) ≠ g(0) en utilisant l’inégalité triangulaire. Je m’embrouille un peu et mélange tout ...

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#13 28-05-2020 08:29:27

Fred
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Re : Séries de fonctions

Tu devrais démontrer par récurrence que $f(x_0/2^n)=g(x_0/2^n)$ pour tout entier $n$...

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#14 28-05-2020 08:51:01

Bill
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Messages : 32

Re : Séries de fonctions

D’accord merci, j’avais pas pensé à la récurrence. Je crois que ça va aller mieux maintenant

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