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#1 18-05-2020 21:47:27

Sandman
Membre
Inscription : 18-05-2020
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Intégrale impropre

Bonjour,
J'essaye de déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles mon intégral est finie et la calculer. Malheureusement, j'ai l'impression d'oublier quelque chose.
a>0
b>=0

    $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}\dfrac{x^b}{(x+\lambda)^{1+a}}~\textrm{d}x$


J'ai essayé par équivalence et je trouve comme condition a>b. Cependant  je bloque pour trouver une formule explicite du résultat.
J'ai tenté avec des IPPs successives, mais je me retrouve tout de même à la fin avec une intégrale de puissance de partie entière que je ne vois pas comment gérer. Si vous avez des idées je serais preneur.

Merci d'avance

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#2 18-05-2020 22:00:13

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Intégrale impropre

Bonsoir,
$\lambda$ peut prendre quelles valeurs ? (strictement positive ou seulement positive)

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#3 18-05-2020 22:42:25

Sandman
Membre
Inscription : 18-05-2020
Messages : 3

Re : Intégrale impropre

J'avais oublié de préciser que $\lambda$ est strictement supérieur à 0.

Dernière modification par Sandman (18-05-2020 22:43:55)

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#4 20-05-2020 18:39:14

Aminegr8506
Membre
Inscription : 08-04-2020
Messages : 4

Re : Intégrale impropre

Bonjour,

Peut-être qu'une D.E.S. peut marcher?

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#5 22-05-2020 11:40:31

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Intégrale impropre

Bonjour,
Je ne connais pas cette abréviation qu'est-ce ?
Pour ma part j'ai tenté un développement en série entière de $g(\lambda) = \frac{x^b}{(\lambda + x)^{1+a}}$, j'obtiens :
$g(\lambda) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}\lambda^n$.
On peut se ramener par un changement de variable à l'étude de l'intégrale pour $\lambda = 1$.

On a une convergence uniforme $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}$, sur $[c;+\infty[$ pour tout $c>1$. On peut donc échanger intégrale et somme etc.
Cependant, je n'ai pas réussi à calculer l'intégrale en partant de 0 jusque là.

@Sandman, ton intégrale vient-elle d'un contexte particulier ou souhaites tu juste calculer une intégrale sortie de presque nulle part ? Parce que si l'intégrale provient de calcul précédent, on pourrait éventuellement s'en servir pour la calculer.

Dernière modification par Maenwe (22-05-2020 11:41:03)

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#6 24-05-2020 02:31:19

Aminegr8506
Membre
Inscription : 08-04-2020
Messages : 4

Re : Intégrale impropre

Bonsoir,
Excusez-moi, je voulais dire par là une décomposition en éléments simples
Pensez-vous que ça puisse marcher en utilisant l'expression des coefficients?

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#7 24-05-2020 08:36:39

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Intégrale impropre

Bonjour,
ça va être compliqué dans le cas où $a$ et $b$ ne sont pas entiers...
Mais même s'ils étaient entier la décomposition en partie entière serait exactement la même expression que dans l'intégrale, c'est  à dire :
$\frac{x^b}{(x+\lambda)^{1+a}}$

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#8 24-05-2020 08:53:52

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 954

Re : Intégrale impropre

Bonjour,

Sandman a écrit :

a>0
b>=0

Juste une précision..en plus de ces contraintes sur $a$ et $b$ imposées notre ami, l'intégrale est convergente si et seulement si $b<1$ et $b<a$.
$0$ est donc la seule valeur entière possible de $b$ compte tenu de ce que Sandman impose .. et pour le cas $b=0$ l'intégrale converge et est facile à calculer..

Dernière modification par Zebulor (24-05-2020 11:23:49)

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#9 24-05-2020 12:21:23

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 148

Re : Intégrale impropre

Zebulor a écrit :

Bonjour,

Sandman a écrit :

a>0
b>=0

Juste une précision..en plus de ces contraintes sur $a$ et $b$ imposées notre ami, l'intégrale est convergente si et seulement si $b<1$ et $b<a$.
$0$ est donc la seule valeur entière possible de $b$ compte tenu de ce que Sandman impose .. et pour le cas $b=0$ l'intégrale converge et est facile à calculer..

Bonjour,

Si j'ai bien interprété ta réponse, soit : intégrale convergente SSi b < 1 et b < a

Contre exemple : b = 2 et a = 3

Par exemple avec Lambda = 1 , b = 2 et a = 3, I = [-(3x²+3x+1)/(3.(x+1)³)](de0à+oo) = 1/3

Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1

Dernière modification par Black Jack (24-05-2020 12:27:20)

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#10 24-05-2020 13:38:58

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 954

Re : Intégrale impropre

@BlackJack : tu as raison je me suis trompé sur l'inégalité sur $b$ et ton contre exemple est bon.
Pour moi l'intégrale est convergente si et seulement si : $a \gt b \gt -1$.

Cette condition devient $a \gt b \ge 0$ compte tenu des données de l'énoncé, ce fait que mon post #8 est faux en partie..

$a \gt b $ est la condition nécessaire et suffisante de la convergence de l'intégrale en $\infty$... et $b \gt -1$ l'autre condition en $0$ (hors donnée imposée par l'énoncé pour cette dernière inégalité).

Black Jack a écrit :

Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1

Contre exemple : $a=2$ , $b=2.5$ et $\lambda=1$. L'intégrale diverge.

b < a+1 est donc une condition nécessaire de convergence en l'infini mais pas suffisante...

Dernière modification par Zebulor (24-05-2020 14:59:54)

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#11 24-05-2020 18:05:59

Black Jack
Membre
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Messages : 148

Re : Intégrale impropre

Zebulor a écrit :

@BlackJack : tu as raison je me suis trompé sur l'inégalité sur $b$ et ton contre exemple est bon.
Pour moi l'intégrale est convergente si et seulement si : $a \gt b \gt -1$.

Cette condition devient $a \gt b \ge 0$ compte tenu des données de l'énoncé, ce fait que mon post #8 est faux en partie..

$a \gt b $ est la condition nécessaire et suffisante de la convergence de l'intégrale en $\infty$... et $b \gt -1$ l'autre condition en $0$ (hors donnée imposée par l'énoncé pour cette dernière inégalité).

Black Jack a écrit :

Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1

Contre exemple : $a=2$ , $b=2.5$ et $\lambda=1$. L'intégrale diverge.

b < a+1 est donc une condition nécessaire de convergence en l'infini mais pas suffisante...

Oui, c'est ma faute.

J'avais commencé par écrire qu'il fallait (1+a)-b > 1

et en remettant cela en forme j'ai sottement écrit b < a + 1 ... au lieu de b < a

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