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#1 21-05-2020 11:19:20

bucket
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Messages : 3

Propriété matrice tridiagonales symétriques

Bonjour,

\begin{equation*}
T_{k}=
\begin{pmatrix}
a_{1} & b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
b_{1} & a_{2} & b{2} & \ddots & \vdots  \\
0  & b_{2} & \ddots  & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{k-1} & b_{k-1} \\
0 & \cdots & 0 & b_{k-1} & a_{k}
\end{pmatrix}
\end{equation*}

Je dispose d'une matrice tridiagonales symétriques de taille k. Je cherche à montrer qu'elle admet des valeurs propres réelles distinctes.
Pour le caractère réel, on sait qu'une telle matrice est semblable à une matrice hermitienne donc elle est diagonalisable et admet des vp réelles.
Par contre je bloque pour montrer qu'elles sont distinctes :
Je me suis appuyé sur le fait que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants mais c'est encore un peu flou, il faudrait arriver à montrer que les multiplicités des vp sont toutes égales à 1...

Merci de votre aide !

Hors ligne

#2 21-05-2020 14:51:06

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Propriété matrice tridiagonales symétriques

Bonjour,
Sans hypothèse supplémentaire ce que tu demandes de montrer est faux, il suffit de prendre les $b_i$ tous égaux à $0$ et tous les $a_i$ égaux entre eux.

Hors ligne

#3 23-05-2020 16:01:21

bucket
Membre
Inscription : 21-05-2020
Messages : 3

Re : Propriété matrice tridiagonales symétriques

Oui en effet j'ai oublié de dire que $\forall k,  b_{k} \ne 0$

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