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#1 21-05-2020 14:15:52

ralph.W.X
Invité

Inégalité

Bonjour,

Pour $x \geq 0,$ on doit prouver que $x-sin(x) \geq \frac{x^3}{(x+\pi)^2}.$
La dérivée $1-cos(x)-\dfrac{x^2(x+3\pi)}{(x+\pi)^3},$ mais je ne sais pas si ceci aide.

Merci d'avance.

#2 21-05-2020 16:16:03

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 954

Re : Inégalité

Bonjour,
je crois avoir compris que tu considères que lorsque deux fonctions $f$ et $g$ vérifient la propriété : pour tout $x \geq 0,$, $f(x) \geq g(x)$, alors on a $f'(x)\geq g'(x)$, ce qui est faux.. contre exemple : les fonctions identité et carré sur le segment $[\frac {1}{2};1]$
Tu peux trouver une autre minorant de $x-sin(x)$  lorsque $x \geq 0$, de sorte à l'encadrer entre $\frac{x^3}{(x+\pi)^2}$ et $x-sin(x)$

Dernière modification par Zebulor (21-05-2020 20:22:12)

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#3 22-05-2020 15:40:16

ralph.W.X
Invité

Re : Inégalité

Salut, oui la dérivée n'aide pas, que proposez-vous, comme en encadrement?

#4 22-05-2020 16:31:38

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 954

Re : Inégalité

Bonjour,

Zebulor a écrit :

Tu peux trouver une autre minorant de $x-sin(x)$  lorsque $x \geq 0$, de sorte à l'encadrer entre $\frac{x^3}{(x+\pi)^2}$ et $x-sin(x)$

Mes excuses : j'ai écrit n'importe quoi. dans la fin de ce post. Pour le moment je n'ai pas d'idée..

Dernière modification par Zebulor (22-05-2020 20:46:54)

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#5 22-05-2020 23:36:53

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Inégalité

Bonsoir,
J'ai une réponse à ceci, il faut d'abord s'occuper dans un premier temps de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2}$...
L'idée m'est venue lorsque j'ai regardé le graphe de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2} - sin(x)$, j'ai vu que la courbe suivait le tracé de la courbe de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2}$, et j'ai exploité ceci...

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#6 23-05-2020 10:32:21

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 148

Re : Inégalité

Bonjour,

Une idée comme une autre... Pas très directe, mais soit.

On peut écrire l'inéquation ainsi : sin(x) <=? x - x³/(x+Pi)²  (pour x >=0)
ou encore : sin(x) - x <=? - x³/(x+Pi)² (1)

soit g(x) = x - x³/(x+Pi)²
g'(x) = Pi²*(3x+Pi)/(x+Pi)³ > 0 --> g est croissante.

On a g(x) = 1 pour x = 1,06888... et donc g(x) > 1 pour x dans ]1,06888... ; +oo[

Et donc comme sin(x) <= 1, sin(x) <= x - x³/(x+Pi)² est vrai pour x dans ]1,06888... ; +oo[

Reste à traiter x dans [0 ; 1,06888...]

sin(x) = x - x³/3! + x^5/5! - ...

Pour n'importe quel x dans [0 ; 1,06888...], chaque terme de la série est en module plus petit que le suivant et les termes tendent vers 0 en +oo, donc la série converge et l'erreur faite en négligeant les termes après un certain rang est inférieure au premier terme négligé et en a le signe) (Théorème de Leibniz si je me souviens bien)

--> sin(x) >= x - x³/3! + x^5/5! (puisque le 1er terme négliger est négatif (-x^7/7!)

--> sin(x) - x >= - x³/3! + x^5/5!

Et donc, si on peut montrer que - x³/3! + x^5/5!  <= - x³/(x+Pi)² (pour x dans [0 ; 1,06888...]), alors (1) sera a fortiori démontré

- x³/3! + x^5/5!  <=? - x³/(x+Pi)²  (OK si x = 0 et si x dans ]0 ; 1,06888...]) -->
- 1/3! + x²/5!  <=? - 1/(x+Pi)²  (puisque x positif)
(-1/6 + x²/120).(x+Pi)² <= -1
(-1/6 + x²/120).(x+Pi)² + 1 <= 0
(-20 + x²).(x+Pi)² + 120 <= 0
-20x²-20Pi²-40Pi.x + x^4 + Pi²x²+2Pix³ + 120 <= 0
x^4 +2Pix³ +(Pi²-20)x²-40.Pi.x + 120-20Pi² <= 0

Etude de signe de P(x) = x^4 +2Pix³ +(Pi²-20)x²-40.Pi.x + 120-20Pi² (sur ]0 ; 1,06888..0]) ... et c'est négatif --> c'est bon

Donc on a bien sin(x) <= x - x³/(x+Pi)²  (pour x >=0)

Comme d'habitude ... toutes bêtises incluses.

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#7 23-05-2020 10:45:34

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Inégalité

Bonjour,
@Black Jack le mieux aurait sûrement été de laisser répondre seul celui qui a posé la question, et à ceux qui ont la réponse de guider...

Hors ligne

#8 23-05-2020 11:10:41

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 148

Re : Inégalité

Maenwe a écrit :

Bonjour,
@Black Jack le mieux aurait sûrement été de laisser répondre seul celui qui a posé la question, et à ceux qui ont la réponse de guider...

J'ai vu dans un message " Pour le moment je n'ai pas d'idée.".

Et un autre pas suffisamment concret pour donner une piste sérieuse. (mais ce n'est que mon avis sur ton message ... comme tu as le tien sur le mien).

J'ai donc répondu un peu plus (trop ?) explicitement.
Avec toutes les réserves qui poussent à ne pas prendre ma réponse sans méfiance ... et donc de tout vérifier et probablement corriger.

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