Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 21-05-2020 00:08:42

JohnSmith
Membre
Inscription : 10-06-2019
Messages : 7

Tribu borélienne stable par addition d'un réel.

Bonjour,

Dans la correction de l'exercice 26 sur les tribus et mesures, il est utilisé sans détails que si un ensemble [tex]F[/tex] est borélien alors [tex]F +q[/tex] avec [tex]q[/tex] rationnel alors [tex]F +q[/tex] est également borélien et de même mesure (de Lesbegue ) que le premier. Cependant, bien que ces résultats semblent intuitifs, comment peut on les montrer rigoureusement?

Bien cordialement et merci d'avance de vos réponses.

Hors ligne

#2 21-05-2020 14:36:28

JohnSmith
Membre
Inscription : 10-06-2019
Messages : 7

Re : Tribu borélienne stable par addition d'un réel.

Finalement en utilisant la continuité de l'application [tex]x\rightarrow x-q[/tex] et en remarquant que [tex]\phi^{-1}(F)=F+q[/tex] on obtient bien que [tex]F+q [/tex] est mesurable, cependant peut on le montrer sans utiliser de fonctions mesurables ? Et plus important comment montre-t-on que [tex]F+q [/tex]  est de même mesure que [tex]F[/tex] ?

Merci d'avance de vos réponses,

Bien cordialement

Hors ligne

#3 21-05-2020 15:05:15

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Tribu borélienne stable par addition d'un réel.

Bonjour,
Tu peux faire ça en utilisant le fait que pour toute suite de boréliens (et en fait partie de $\mathbb{R}$) $(A_n)_n$, on a :
$\cup_n (A_n + q) = (\cup_n A_n) + q$, et, $\cap_n (A_n+q) = (\cap_n A_n) + q$.

Et concernant la deuxième question, tu peux utiliser le lemme de Dynkin (enfin c'est plutôt l'une de ses conséquences), en posant $\lambda_0(A) = \lambda(A+q)$. (rappel : les intervalles sont des $\pi$-systèmes).

Hors ligne

#4 21-05-2020 19:19:31

JohnSmith
Membre
Inscription : 10-06-2019
Messages : 7

Re : Tribu borélienne stable par addition d'un réel.

Bonjour,

Merci de vos réponses, par rapport à la première question, je ne vois pas trop en quoi les égalités avec les unions dénombrables nous aident à assurer que [tex]F+q [/tex] soit borélien...

Pour la seconde question je vais essayer d'utiliser le lemme des classes monotones comme vous le conseillez.

Bien cordialement

Hors ligne

#5 21-05-2020 21:23:26

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Tribu borélienne stable par addition d'un réel.

Bonjour,
Concernant la 1ère question $F$ est un borélien, sachant que la tribu borélienne peut-être engendrée par $\{[a;b], (a,b) \in \mathbb{R} \land a \leq b \}$ et que pour tout intervalle, la somme d'un intervalle et d'un réel est encore un intervalle... C'est moins simple qu'avec l'argument de la fonction mesurable (qui se veut d'ailleurs un poil plus générale).Une rédaction bien propre passerait probablement par une récurrence mais un peu casse pied à rédiger.

En fait, je ne sais pas pourquoi on précise avec $q$ un rationnel puisque avec tout réel ça marche bien, même pour la stabilité de la mesure par translation.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
vingt cinq plus cinquante six
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums