Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 18-05-2020 22:47:27
- Sandman
- Membre
- Inscription : 18-05-2020
- Messages : 3
Intégrale impropre
Bonjour,
J'essaye de déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles mon intégral est finie et la calculer. Malheureusement, j'ai l'impression d'oublier quelque chose.
a>0
b>=0
$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}\dfrac{x^b}{(x+\lambda)^{1+a}}~\textrm{d}x$
J'ai essayé par équivalence et je trouve comme condition a>b. Cependant je bloque pour trouver une formule explicite du résultat.
J'ai tenté avec des IPPs successives, mais je me retrouve tout de même à la fin avec une intégrale de puissance de partie entière que je ne vois pas comment gérer. Si vous avez des idées je serais preneur.
Merci d'avance
Hors ligne
#4 20-05-2020 19:39:14
- Aminegr8506
- Membre
- Inscription : 08-04-2020
- Messages : 4
Re : Intégrale impropre
Bonjour,
Peut-être qu'une D.E.S. peut marcher?
Hors ligne
#5 22-05-2020 12:40:31
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Intégrale impropre
Bonjour,
Je ne connais pas cette abréviation qu'est-ce ?
Pour ma part j'ai tenté un développement en série entière de $g(\lambda) = \frac{x^b}{(\lambda + x)^{1+a}}$, j'obtiens :
$g(\lambda) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}\lambda^n$.
On peut se ramener par un changement de variable à l'étude de l'intégrale pour $\lambda = 1$.
On a une convergence uniforme $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}$, sur $[c;+\infty[$ pour tout $c>1$. On peut donc échanger intégrale et somme etc.
Cependant, je n'ai pas réussi à calculer l'intégrale en partant de 0 jusque là.
@Sandman, ton intégrale vient-elle d'un contexte particulier ou souhaites tu juste calculer une intégrale sortie de presque nulle part ? Parce que si l'intégrale provient de calcul précédent, on pourrait éventuellement s'en servir pour la calculer.
Dernière modification par Maenwe (22-05-2020 12:41:03)
Hors ligne
#6 24-05-2020 03:31:19
- Aminegr8506
- Membre
- Inscription : 08-04-2020
- Messages : 4
Re : Intégrale impropre
Bonsoir,
Excusez-moi, je voulais dire par là une décomposition en éléments simples
Pensez-vous que ça puisse marcher en utilisant l'expression des coefficients?
Hors ligne
#7 24-05-2020 09:36:39
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Intégrale impropre
Bonjour,
ça va être compliqué dans le cas où $a$ et $b$ ne sont pas entiers...
Mais même s'ils étaient entier la décomposition en partie entière serait exactement la même expression que dans l'intégrale, c'est à dire :
$\frac{x^b}{(x+\lambda)^{1+a}}$
Hors ligne
#8 24-05-2020 09:53:52
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Intégrale impropre
Bonjour,
a>0
b>=0
Juste une précision..en plus de ces contraintes sur $a$ et $b$ imposées notre ami, l'intégrale est convergente si et seulement si $b<1$ et $b<a$.
$0$ est donc la seule valeur entière possible de $b$ compte tenu de ce que Sandman impose .. et pour le cas $b=0$ l'intégrale converge et est facile à calculer..
Dernière modification par Zebulor (24-05-2020 12:23:49)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
Hors ligne
#9 24-05-2020 13:21:23
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Intégrale impropre
Bonjour,
Sandman a écrit :a>0
b>=0Juste une précision..en plus de ces contraintes sur $a$ et $b$ imposées notre ami, l'intégrale est convergente si et seulement si $b<1$ et $b<a$.
$0$ est donc la seule valeur entière possible de $b$ compte tenu de ce que Sandman impose .. et pour le cas $b=0$ l'intégrale converge et est facile à calculer..
Bonjour,
Si j'ai bien interprété ta réponse, soit : intégrale convergente SSi b < 1 et b < a
Contre exemple : b = 2 et a = 3
Par exemple avec Lambda = 1 , b = 2 et a = 3, I = [-(3x²+3x+1)/(3.(x+1)³)](de0à+oo) = 1/3
Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1
Dernière modification par Black Jack (24-05-2020 13:27:20)
Hors ligne
#10 24-05-2020 14:38:58
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Intégrale impropre
@BlackJack : tu as raison je me suis trompé sur l'inégalité sur $b$ et ton contre exemple est bon.
Pour moi l'intégrale est convergente si et seulement si : $a \gt b \gt -1$.
Cette condition devient $a \gt b \ge 0$ compte tenu des données de l'énoncé, ce fait que mon post #8 est faux en partie..
$a \gt b $ est la condition nécessaire et suffisante de la convergence de l'intégrale en $\infty$... et $b \gt -1$ l'autre condition en $0$ (hors donnée imposée par l'énoncé pour cette dernière inégalité).
Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1
Contre exemple : $a=2$ , $b=2.5$ et $\lambda=1$. L'intégrale diverge.
b < a+1 est donc une condition nécessaire de convergence en l'infini mais pas suffisante...
Dernière modification par Zebulor (24-05-2020 15:59:54)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
Hors ligne
#11 24-05-2020 19:05:59
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Intégrale impropre
@BlackJack : tu as raison je me suis trompé sur l'inégalité sur $b$ et ton contre exemple est bon.
Pour moi l'intégrale est convergente si et seulement si : $a \gt b \gt -1$.Cette condition devient $a \gt b \ge 0$ compte tenu des données de l'énoncé, ce fait que mon post #8 est faux en partie..
$a \gt b $ est la condition nécessaire et suffisante de la convergence de l'intégrale en $\infty$... et $b \gt -1$ l'autre condition en $0$ (hors donnée imposée par l'énoncé pour cette dernière inégalité).
Black Jack a écrit :Je pense que la condition sur a et b pour que l'intégrale soit convergente est 0 <= b < a+1
Contre exemple : $a=2$ , $b=2.5$ et $\lambda=1$. L'intégrale diverge.
b < a+1 est donc une condition nécessaire de convergence en l'infini mais pas suffisante...
Oui, c'est ma faute.
J'avais commencé par écrire qu'il fallait (1+a)-b > 1
et en remettant cela en forme j'ai sottement écrit b < a + 1 ... au lieu de b < a
Hors ligne
Pages : 1