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#1 18-05-2020 14:59:33

mdeboute
Membre
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Messages : 3

Factorisation des polynômes dans l'anneau R[X,Y]

Bonjour, n'ayant trouvé une démonstration rigoureuse, je viens vous poser la question ici. Comment justifier que pour tout f dans R[X,Y], la factorisation de f s'écrit f = h(Y)+X·g(X,Y), pour un polynôme h à une indéterminée à coefficients réels et pour un g(X,Y) dans R[X,Y] ?

Merci d'avance pour vos retours :)

(PS : je me sers de ce résultat pour montrer qu'un certain idéal de cet anneau est engendré par X mais j'aimerai montrer ce résultat rigoureusement.)

Dernière modification par mdeboute (18-05-2020 15:08:01)

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#2 18-05-2020 15:24:48

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Factorisation des polynômes dans l'anneau R[X,Y]

Bonjour,
il faut que tu vois $Y$ comme un élément de R dans un premier temps, comme si $f$ n'avait qu'une variable, et là c'est plutôt simple, tu notes $c$ ($f(0) = c$) le coefficient constant de $f$ et 0 est racine de $f-c$, donc cela conclut.
Maintenant tu as deux manière de le faire, soit la manière directe, où tu exprimes $f$ clairement ($f(X,Y) = \sum\limits_{0 \leq i,j \leq n} a_{i,j} X^i Y^j$), soit la manière indirecte en posant $R(X) = f(X,Y)$ comme polynôme à coefficients dans $R[Y]$.

Dernière modification par Maenwe (18-05-2020 15:25:10)

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#3 18-05-2020 15:34:35

mdeboute
Membre
Inscription : 18-05-2020
Messages : 3

Re : Factorisation des polynômes dans l'anneau R[X,Y]

Merci ! En effet l'argument du coefficient constant de f où 0 est racine de f - c est assez astucieux et concluant !

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