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#1 18-05-2020 14:59:33
- mdeboute
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Factorisation des polynômes dans l'anneau R[X,Y]
Bonjour, n'ayant trouvé une démonstration rigoureuse, je viens vous poser la question ici. Comment justifier que pour tout f dans R[X,Y], la factorisation de f s'écrit f = h(Y)+X·g(X,Y), pour un polynôme h à une indéterminée à coefficients réels et pour un g(X,Y) dans R[X,Y] ?
Merci d'avance pour vos retours :)
(PS : je me sers de ce résultat pour montrer qu'un certain idéal de cet anneau est engendré par X mais j'aimerai montrer ce résultat rigoureusement.)
Dernière modification par mdeboute (18-05-2020 15:08:01)
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#2 18-05-2020 15:24:48
- Maenwe
- Membre confirmé
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- Messages : 409
Re : Factorisation des polynômes dans l'anneau R[X,Y]
Bonjour,
il faut que tu vois $Y$ comme un élément de R dans un premier temps, comme si $f$ n'avait qu'une variable, et là c'est plutôt simple, tu notes $c$ ($f(0) = c$) le coefficient constant de $f$ et 0 est racine de $f-c$, donc cela conclut.
Maintenant tu as deux manière de le faire, soit la manière directe, où tu exprimes $f$ clairement ($f(X,Y) = \sum\limits_{0 \leq i,j \leq n} a_{i,j} X^i Y^j$), soit la manière indirecte en posant $R(X) = f(X,Y)$ comme polynôme à coefficients dans $R[Y]$.
Dernière modification par Maenwe (18-05-2020 15:25:10)
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