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#26 15-05-2020 10:09:14

DavidBe
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Re : Série

Oui effectivement mais [tex]\frac {1}{3k^\alpha}[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]

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#27 15-05-2020 11:17:21

Zebulor
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Re : Série

DavidBe a écrit :

Finalement si on compare avec une série de référence de Riemann la série est absolument convergente ssi [tex](\alpha,\beta)>(1,1)[/tex]

Veux tu dire : la série [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex] est absolument convergente si et seulement si $\alpha \gt 1$ et $\beta \gt 1$ ?
EDIT : ah tu as effacé ton dernier post..:-)

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 11:42:46)


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#28 15-05-2020 11:42:42

DavidBe
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Re : Série

Oui j'aurais dit ça #Edit: j'ai vu que c'était faux mais j'exprime mon point de vue

On a montré que [tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}| < \frac {1}{k^\alpha+2k^\beta}[/tex]

Or on a dit que si [tex]\alpha>\beta[/tex] [tex]\frac {1}{k^\alpha+2k^\beta} \sim \frac{1}{k^\alpha}[/tex]
Or d'après une série de référence de Riemann [tex]\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{x^\alpha}[/tex] converge ssi [tex]\alpha >1[/tex] donc [tex]\sum_{0}^{1}\frac{1}{k^\alpha}[/tex] converge ssi [tex]\alpha >1[/tex]
On a fait de même pour les cas [tex]\beta>\alpha[/tex] et [tex]\alpha=\beta[/tex]

Donc  [tex]\sum_{0}^{\infty}|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}|[/tex] converge ssi [tex](\alpha,\beta) >(1,1)[/tex]

Donc par le théorème de comparaison j'aurai dit mais apparement il y a un truc qui m'échappe que [tex]\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k\beta}[/tex] est absolument convergente ssi [tex](\alpha,\beta) >(1,1)[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 13:03:34)

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#29 15-05-2020 13:17:49

Zebulor
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Re : Série

Tu as le droit d'exprimer ton point de vue, ce site est fait pour çà ! ..échanger ses points de vue
Quand tu écris ceci

DavidBe a écrit :

[tex](\alpha,\beta) >(1,1)[/tex]

, ça ne veut rien dire en fait. On devine que ça signifie $\alpha \gt 1$ et $\beta \gt 1$. Tu me rectifieras si je me trompe.
Tite question : que penses tu du cas $\alpha = 2$, $\beta = 0$ ?


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#30 15-05-2020 13:22:57

DavidBe
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Re : Série

Oui je voulais exprimer ça !
Ah oui d'accord je comprends en fait le problème.
En faiit il faut que au moins un des deux soit strictement supérieur à 1

D'où en fait cette "idée" de max que j'avais fait par au début,
Finalement peut-être on peut dire que la série converge absolument ssi [tex]max{\alpha,\beta}>1[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 13:24:23)

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#31 15-05-2020 13:31:59

Zebulor
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Re : Série

Je me connecte de temps en temps et réfléchis avec toi sur le sujet. Est ce que tu veux dire :
il faut que $\alpha \gt 1$ ou $\beta \gt 1$ pour que la série converge absolument ou :
il faut et il suffit que $\alpha \gt 1$ ou $\beta \gt 1$ pour que la série converge absolument ..


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#32 15-05-2020 13:53:03

DavidBe
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Re : Série

Ah d'accord en fait il faut que je me demande si ce que j'ai fait c'est nécessaire et suffisant pour la série converge absolument.
Je dirais par conséquent qu'il suffit que \alpha ou \beta >1 pour la série soit absolument convergente

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 13:56:56)

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#33 15-05-2020 14:13:10

Zebulor
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Re : Série

Si $\alpha= \beta = 0.5$ la série n'est pas absolument convergente....


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#34 15-05-2020 14:19:25

DavidBe
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Re : Série

Oui mais dans votre cas ni [tex]\alpha[/tex] ou  [tex]\beta >1[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 14:19:38)

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#35 15-05-2020 14:22:15

Zebulor
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Re : Série

Je déduis de mon post #33 qu'il faut aussi que $\alpha$ ou $\beta >1$  pour la série soit absolument convergente


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#36 15-05-2020 14:27:44

DavidBe
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Re : Série

C'est à dire que pour la série converge absolument il faut et il suffit que [tex]\alpha >1[/tex] ou [tex]\beta >1[/tex]

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#37 15-05-2020 14:28:28

Zebulor
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Re : Série

Oui


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#38 15-05-2020 14:30:22

DavidBe
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Re : Série

D'accord j'ai compris merci !

Sauf que maintenant il faut que je m'occupe de la convergence de la série. C'est donc là que je vais utiliser le CSA si j'ai compris

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#39 15-05-2020 14:46:32

Maenwe
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Re : Série

Bonjour,
Rectification, j'ai fais une grosse erreur, si (par exemple) $\alpha > \beta$ alors $\frac{1}{k^\alpha + 2 k^\beta } \sim \frac{1}{k^{\alpha-\beta }}$ ...

Dernière modification par Maenwe (15-05-2020 14:47:29)

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#40 15-05-2020 14:46:51

Zebulor
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Re : Série

DavidBe a écrit :

Sauf que maintenant il faut que je m'occupe de la convergence de la série. ..

Tu as déjà commencé à le faire  !!

On a pas traité tous les cas parce que la condition de convergence absolue n'est que suffisante et qu'elle traite moins de cas que le critère spécial.

D'où l'intérêt d'exploiter le critère spécial des séries alternées..

Dernière modification par Zebulor (18-05-2020 15:50:57)


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#41 15-05-2020 14:50:56

Zebulor
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Re : Série

Bonjour Maewenn;
oula...bon si ça se trouve je raconte que des c.... à cause d'une erreur ..Maenwe je te laisse regarder si tu veux. Je vais me reposer.

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 14:51:55)


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#42 15-05-2020 14:54:33

Maenwe
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Re : Série

Ah non pardon, je sais pas pourquoi j'ai pensé ça...

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#43 15-05-2020 14:56:57

Zebulor
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Re : Série

Euh... non en effet. Je cherchais une éventuelle erreur..


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#44 15-05-2020 16:38:26

DavidBe
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Re : Série

Re,

Pour le CSA j'ai esayé de démontré les 3 choses:

1) la série est bien alternée

2) [tex]|u_k|->0[/tex] c'est à dire [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|}[/tex] tend vers 0
or [tex]\frac{1}{|k^\alpha +2k^\beta|} = \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex]
Or là on a montré avat que pour que ça converge il fallait et il suffit que [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] mais ici on veut que ça converge uniquement vers 0. Donc je sais pas comment m'y prendre

3) [tex]|u_k|[/tex] soit décroiante.
Je pose[tex] f(k)= \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] [tex]f'(k)=-\frac{(\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1})}{({k^\alpha+2k^\beta})^2}[/tex]

Donc pour que f'(k) soit décrissante il faut que [tex]\alpha k^{\alpha -1}+2\beta k^{\beta -1} >=0[/tex]
Donc que [tex]\alpha k^{\alpha-1}>= -2\beta k^{\beta-1}[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 16:42:33)

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#45 15-05-2020 16:46:13

Maenwe
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Re : Série

Bonjour,
C'est exacte pourrais tu aller plus loin dans ton analyse ?

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#46 15-05-2020 16:50:37

DavidBe
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Re : Série

Rebonjour,

Justement pour le 2)
Si je veux que suite convergen 0 alors le dénominateur doit tendre vers [tex]\infty[/tex] non ?
Mais [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont des réels ...

Pour la 3)

j'étais arrivé à [tex]\alpha ^{\alpha -1} >= -2\beta k^{\beta-1}[/tex]

Donc [tex]\alpha >= -2\beta \frac{1}{k^{\alpha - \beta}}[/tex]
donc [tex]k^{\alpha -\beta} >= -\frac{2\beta}{\alpha}[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 16:59:25)

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#47 15-05-2020 17:39:03

Maenwe
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Re : Série

Bonjour,
C'est vrai ça si $\alpha > 0$... Mais admettons que l'on ait supposé ceci, que peut tu dire de plus ? Pousse tes raisonnements plus loin ! A chaque fois tout ce que j'ai fait (et Zebulor) c'est de te corriger sur des détails techniques (à moins que ce soit récurrents ce genre de problèmes) tu peux aller jusqu'au bout du problème seul(e) avec cette seule indication : "utilise le CSSA" ;)

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#48 15-05-2020 22:24:16

DavidBe
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Re : Série

Bonsoir !

Je pense que du coup forcément [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k\beta}[/tex] ne peut converger que vers 0 donc la conclusion est la même que pour la convergence absolue à savoir : il faut et il suffit que [tex]\alpha>1[/tex] ou [tex]\beta>1[/tex]

Par conséquent pour le 2) du CSA c'est la conclusion ci-dessus
e pour le 3) [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont obligatoirement positifs donc [tex]\alpha k^{\alpha-1} +2\beta k^{\beta-1}>0[/tex]

Donc finalement pour la série converge il faut que soit [tex]\alpha>1[/tex] et [tex]\beta>=0[/tex] ou [tex]\alpha>0[/tex] et [tex]\beta>1[/tex] ou [tex]\alpha >1[/tex] et [tex]\beta >1[/tex] ou [tex]\alpha=\beta>1[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 23:14:05)

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#49 16-05-2020 08:14:18

Maenwe
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Re : Série

Bonjour,
D'une part d'où tu tire que il faut nécessairement que $\alpha , \beta > 1$ pour que la suite converge vers 0 ? Essaye avec $\alpha = -1$ et $\beta =0.1$ tu vas voir, ça converge vers 0 ! Il faut que tu raisonnes méthodiquement, suppose que $\alpha > \beta$ alors $\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta} \sim \frac{1}{k^\alpha}$, qu'en déduis tu quant à la convergence vers 0 de la suite lorsque $\alpha > \beta$ ?

Dernière modification par Maenwe (16-05-2020 08:15:03)

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#50 16-05-2020 08:17:19

DavidBe
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Re : Série

Bonjour,

Effectivement, j'ai refais et finalement je trouve que [tex]\alpha>0[/tex] ou [tex]\beta >0[/tex]

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