Série

DavidBe · 14-05-2020 14:33:38

Bonjour

J'aimerais comprendre et savoir comment on peut étudier cette série :
[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Ce que je fais souvent pour discuter de la convergence d'une série, je commence par me demander si elle est absolument convergente et si elle est c'est gagné ! Ici je me doute aussi que la convergence et la convergence absolue va dépendre de [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Convergence absolue:

[tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}| = \frac{|-1)^k|}{|k^\alpha + 2k^\beta|} = \frac{1}{|k^\alpha + 2k^\beta|}= \frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Je vais essayer d'utiliser des séries références de Riemann.

Zebulor · 14-05-2020 14:57:57

re,
sans avoir creusé le problème, d'autres le feront peut être ...est ce que tu es sur que l'absolue convergence d'une série numérique est une condition nécessaire de convergence ?

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 14:58:49)

DavidBe · 14-05-2020 15:00:28

Re,
une série peut convergente n'est pas toujours absolument convergente mais une série absolument convergente est convergent

J'ai une idée peut-être en l'infin prendre [tex]\frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex]

Maenwe · 14-05-2020 18:24:48

Bonjour,
Pour continuer selon ton point de vue, tu peux utiliser un équivalent et effectivement utiliser la suite que tu as proposé qui est presque (à un facteur près selon le cas) un équivalent de $\frac{(-1)^{k}}{k^\alpha+2k^\beta}$.

Après, pour faire encore plus générale, tu connais le critère spéciale des séries alternées ?

DavidBe · 14-05-2020 20:59:08

Bonjour !

Si je comprends bien j'aurai du plutôt du écrire [tex]\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta} \sim \frac{(-1)^k}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] lorsque [tex]x->\infty[/tex]

Cependant ici, pour l'instant je ne traite que la convergence absolue(je vais traiter la convergence après)
Donc [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}\sim \frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex]

Or [tex]\sum _{0}^{\infty }\frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] converge d'après une série de Riemann ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex]
Donc [tex]\sum _{0}^{\infty }|\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta}|[/tex] converge ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex] d'après le théorème d'équvalence
Donc [tex]\sum _{0}^{\infty }\frac{(-1)^k}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] est absoluement convergente ssi [tex]max(\alpha,\beta) >1[/tex]
Cela veut dire que dans mon couple [tex](\alpha,\beta)[/tex] au moins un des deux doit être strictement supérieur à1.

Dernière modification par DavidBe (14-05-2020 21:02:50)

Maenwe · 14-05-2020 22:24:35

Re,
D'une part ton équivalent est faux dans un cas (j'avais bien précisé, que la suite que tu as donné est presque un équivalent, à un facteur près).
D'autre part la condition que tu as énoncé n'est pas nécessaire mais suffisante.
Tu n'as pas répondu à ma question d'ailleurs concernant le critère spéciale des séries alternées...

Zebulor · 14-05-2020 22:26:00

Re,
ta piste est intéressante et il y a effectivement une question de position relative de $\alpha$ et $\beta$. Comme tu l'écrivais - et j'ai juste corrigé ci dessous en fonction de ce que je crois que tu voulais écrire- tu rectifieras si tu l estimes nécessaire :

DavidBe a écrit :

Re,
une série convergente n'est pas toujours absolument convergente mais une série absolument convergente est convergente
J'ai une idée peut-être en l'infin prendre [tex]\frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex]

autrement dit l'absolue convergence est une condition suffisante mais pas nécessaire de convergence d'une suite numérique. Par conséquent si ne tiens compte que de ce critère, tu risques de passer à côté de toutes les séries numériques susceptibles de converger...

Je confirme que ton équivalent est faux dans un cas. Maenwe, que je salue au passage, t'invite à utiliser le critère des séries alternées, parce qu'il donne les conditions nécessaires et suffisantes de convergence de la série... il t'a mis sur les rails.

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 22:36:10)

Maenwe · 14-05-2020 22:41:16

Salut Zebulor !

Zebulor a écrit :

t'invite à utiliser le critère des séries alternées, parce qu'il donne les conditions nécessaires et suffisantes de convergence de la série...

, condition nécessaire ? C'est le même critère dont l'on parle ?

Zebulor · 14-05-2020 22:46:26

Salut !
Je parle du critère spécial des séries alternées qui présentes les conditions nécessaires et suffisantes de convergence d'une série alternée me semble t il, mais ta question m'en fait douter soudainement..
J"essaie de trouver une série alternée convergente ne vérifiant pas le critère spécial des séries alternées, mais je n'en vois pas.

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 23:01:16)

Maenwe · 14-05-2020 23:01:03

Eh bien j'ai cherché un peu sur internet (et dans mes souvenirs) mais je n'ai vu qu'une version suffisante et non nécessaire et suffisante... Reste à voir 'il existe ou non un contre-exemple

Zebulor · 14-05-2020 23:02:38

en tout cas c'est une bonne question..une telle série serait telle que la valeur absolue de son terme général ne décroit pas ... car de toute façon ce terme général tend vers 0 en l infini.
je doute qu'il existe un tel contre exemple ...

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 23:09:18)

Maenwe · 14-05-2020 23:09:50

Et en voilà un contre exemple :
La série associée à la suite $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ si $n=0 [4]$ ou $n=1[4]$, et $u_n = \frac{(-1)^n}{ln(n)}$ si $n=2 [4]$ ou $n=3[4]$.

Quoi que, à voir, il me manque tous les détails de la démonstrations, je reviens à toi un peu plus tard

Dernière modification par Maenwe (14-05-2020 23:11:24)

Maenwe · 14-05-2020 23:17:35

Bon, je crois avoir tous les détails de ma preuve, il me semble que ça fonctionne, sur ce, bonne nuit !

DavidBe · 14-05-2020 23:23:26

Bonsoir,

Maenwe a écrit :

Re,
D'une part ton équivalent est faux dans un cas (j'avais bien précisé, que la suite que tu as donné est presque un équivalent, à un facteur près).
D'autre part la condition que tu as énoncé n'est pas nécessaire mais suffisante.
Tu n'as pas répondu à ma question d'ailleurs concernant le critère spéciale des séries alternées...

Oui mais je ne comprends pas le facteur près est-ce [tex]\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta)} \sim \frac{-1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] ?

Oui oui je sais bien mais ensuite je m'occuperais de la convergence.

Enfin, non je n'ai pas vu le critère spéciale des séries alternées seulement le CSA.

Zebulor · 14-05-2020 23:27:19

re DavidBe,
ah tu as fait un cauchemar qui t a réveillé .. je plaisante.. Le CSA c'est précisément le critère spécial des séries alternées ,non?
Excuse moi, je vias me coucher car Maewe semble parti. On verra ça. Bonne nuit

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 23:29:22)

DavidBe · 14-05-2020 23:33:55

Re,
Ah je ne savais pas,nous nous l'avons donné comme le critère de convergence des séries alternées. Et quand vous parlez de le critère spécial des séries alternées je pensais c'était le CSA mais spéciale !
D'ailleurs nous l'avons plus appelé le critère de Leibniz même si je sais que ce n'est pas exactement la même chose .
Je vous souhaite une bonne nuit !

Zebulor · 15-05-2020 05:33:40

Re,

DavidBe a écrit :

Oui mais je ne comprends pas le facteur près est-ce [tex]\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta)} \sim \frac{-1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex] ?

@DavidBe : Tu peux par exemple factoriser le dénominateur du terme général de la série par $k^{\alpha}$ et en déduire quels sont ses équivalents à l'infini suivant les positions relatives de $\alpha$ et $\beta$

@Maenwe :
Quoi qu'il en soit il me semble que l'ensemble des séries [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex] absolument convergentes est strictement inclus dans celui des séries [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex] vérifiant le critère spécial des séries alternées. Qu'en penses tu ?

Supposons à ce stade que le critère des séries alternées ne donne que des conditions suffisantes de convergence. Compte tenu de la nature de la suite associée à la série de DavidBe, est ce que ces conditions suffisantes ne sont pas aussi nécessaires ?

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 08:27:00)

DavidBe · 15-05-2020 09:46:33

Bonjour,

Cela donne donc [tex]\frac{(-1)^k}{k^\alpha (1+ \frac{2k^\beta}{k^\alpha})} = \frac{(-1)^k}{k^\alpha (1+ \frac{2}{k^{\alpha - \beta}})}[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 09:50:09)

Maenwe · 15-05-2020 09:47:29

Bonjour,
@DavidBe je ne sais pas si c'est une manipulation maladroite mais je préfère te le dire, le raisonnement par équivalent pour les séries n'est valable que pour les séries à termes positifs.
De plus si $\beta > \alpha$, $\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta} \sim \frac{1}{2 k^\beta}$... C'est le $0.5$ qui manquait !

@Zebulor, je ne sais pas ! Mais ça permet au moins de diminuer le nombre de cas à traiter au moins...

Dernière modification par Maenwe (15-05-2020 09:48:48)

DavidBe · 15-05-2020 09:53:25

Re,

Oui je m'en suis rendu compte mais j'avais mal lu je pensais que mon signe n'étais pas bon excusez moi.

Si je reviens au CSA, si je l'utilise il faudrait que je montre que[tex] u_n= \frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}[/tex] soit une suite décroissante i.e [tex]|u_{n+1}|<=|u_n|[/tex] et que la la limite lorsque k tend vers l'infini de [tex]U_n[/tex] est 0. Et ça me donnerait des conditions sur [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 09:58:33)

Zebulor · 15-05-2020 09:59:27

Bonjour à vous deux,
@Maenwe : je pense que DavidBe veut exploiter les équivalents dans le cadre de la convergence absolue, condition seulement suffisante de convergence..

Maenwe a écrit :

@Zebulor, je ne sais pas ! Mais ça permet au moins de diminuer le nombre de cas à traiter au moins...

On est bien d'accord. Mais alors le critère spécial des séries alternées ne traite peut être pas tous les cas à traiter dans la mesure où il ne présente que des conditions suffisantes de convergence.

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 10:12:26)

DavidBe · 15-05-2020 10:09:40

Bonjour Zebulor,

Oui en fait j'avais commencé par l'absolue convergence mais après il faut aussi que je fasse la convergence.
Si je reprends ce que m'a dit Maenwe, (FAUX :[tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta} \sim \frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex])
Donc si [tex]\alpha>\beta[/tex] [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta}= \frac{1}{k^\alpha{(1+\frac{2}{k^{\alpha - \beta}})}} \sim \frac{1}{k^\alpha}[/tex]
Si [tex]\beta>\alpha[/tex] alors [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta} \sim \frac{1}{2k^\beta}[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 10:40:08)

Zebulor · 15-05-2020 10:14:51

re,

DavidBe a écrit :

Si je reprends ce que m'a dit Maenwe, [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k^\beta} \sim \frac{1}{k^{max(\alpha,\beta)}}[/tex]

non, mais je crois que ce n 'est pas ce que tu as voulu écrire compte tenu de la suite de ton post..parce qu'en l infini tes équivalents sont bons. il te reste un cas ...

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 10:16:02)

DavidBe · 15-05-2020 10:43:28

Re,

Oui pardon je me l'étais écrit juste pour faire la suite.

Effectivement si maintenant [tex]\alpha = \beta[/tex], alors [tex]\frac{1}{k^\alpha +2k\beta} = \frac{1}{3k^\alpha} \sim \frac {1}{k^\alpha}[/tex]

Finalement si on compare avec une série de référence de Riemann la série est absolument convergente ssi [tex](\alpha,\beta)>(1,1)[/tex]

Dernière modification par DavidBe (15-05-2020 10:46:45)

Zebulor · 15-05-2020 10:59:05

DavidBe a écrit :

$\frac{1}{3k^\alpha} \sim \frac {1}{k^\alpha}$

Pas en l'infini..

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 10:59:30)

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