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#1 09-04-2020 16:59:24

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 111

Suite exacte : produit directs et semi-directs

Bonjour,

dans mon cours, j'ai la définition générale d'une suite exacte :

Définition a écrit :

$1\to N{\to}_i G{\to}_p H\to 1$

où :
(1) $N$, $G$ et $H$ sont des groupes ;
(2) $i$ est un morphisme injectif ;
(3) $p$ est un morphisme surjectif.
(4) On a $Im(i)=Ker(p)$.

Ensuite j'ai l'exemple avec le produit direct :
(1) $N$ et $H$ sont deux groupes. Et $G=N\times H$ le produit cartésien de $N$ par $H$.
(2) $i$ est le morphisme injectif de $H$ sur $G=N\times H$ défini par $i(h)=(1,h)$;
(3) $p$ est la projection de $G=N\times H$ sur $N$. C'est un morphisme surjectif.
(4) On a :
D'une part : $Im(i)=\{i(h)\mid h\in H\}=\{(1,h)\mid h\in H\}$.
D'autre part : $Ker(p)=\{(n,h)\in G\mid p(n,h)=1\}=\{(n,h)\in G\mid n=1\}=\{(1,h)\mid h\in H\}$.
D'où $Im(i)=Ker(p)$.

Par conséquent, avec $i$ et $p$ ainsi défini, on a une suite exacte.

Ensuite il est dit que la restriction de $p$ à $Ker(p)$ est un isomorphisme : $Ker(p)\simeq H$.

Et qu'un exemple classique est le lemme chinois qui stipule que $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ où $(p,q)=1$.

Je n'arrive pas à faire le lien entre l'aspect théorie (ce qu'est une suite exacte) et le pratique. Je ne vois pas comment utiliser ce résultat pour retrouver le lemme chinois. Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

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#2 09-04-2020 21:02:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Tmota a écrit :

Ensuite il est dit que la restriction de $p$ à $Ker(p)$ est un isomorphisme : $Ker(p)\simeq H$.

Ce n'est sûrement pas écrit cela : la restriction de $p$ à $Ker(p)$ est l'application nulle!

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#3 10-04-2020 05:58:50

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 111

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Bonjour Fred,

en notant $\overline{H}:=\{(1,h)\mid h\in H\}$, il est écrit que $p_{\mid\overline{H}}:\overline{H}\to H$ est un isomorphisme. C'est une erreur ?

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#4 10-04-2020 08:25:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Non, ce n'est pas une erreur, mais ce n'est pas du tout ce que tu as écrit sur ton premier post, et ceci ne fonctionne que pour un produit direct.

F.

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#5 10-04-2020 11:52:38

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 111

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Je cherche mon erreur.

$p$ est une application au départ de $N\times H$ et à valeurs dans $N$.

Lorsqu'hier j'ai écrit que sa restriction à $ker(p)$ était un isomorphisme, c'était faux parce qu'alors cela signifierait que $p_{\mid ker(p)}:ker(p)\to N$ serait un isomorphisme.

Alors qu'en fait, c'est l'application $p: ker(p)\to H$ qui en est une.

L'espace d'arrivée est $H$, et non $N$. Est-ce cela ?

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#6 10-04-2020 15:58:17

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Bonjour,

  Non, pour tout $x\in \ker(p)$, on a $p(x)=0$ et ce ne peut pas être un isomorphisme.
Je pense qu'avant d'aborder les suites exactes, tu devrais réviser la structure de groupe quotient.

F.

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#7 20-04-2020 08:40:14

Tmota
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Messages : 111

Re : Suite exacte : produit directs et semi-directs

Ok !

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