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#26 10-04-2020 07:02:50
- Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Bonjour Fred,
j'essaye de suivre le raisonnement.
Tu aurais pu dire que le groupe des inversibles de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ admet uniquement deux éléments
Oui, car $\phi(4)=2$
donc est (isomorphe à) $\mathbb Z/2\mathbb Z$
Oui aussi car $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times$ et $\mathbb Z/2\mathbb Z$ sont deux ensembles finis à deux éléments donc équipotent.
dont les sous-groupes sont $\{0\}$ et lui-même.
Là, je ne fais pas le lien.
Est-ce qu'il existe un résultat pour déterminer directement les sous-groupes de $\mathbb Z/2\mathbb Z$, et plus généralement de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ?
Encore merci pour l'aide
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#27 10-04-2020 09:26:32
- Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Oui, il y a un résultat, mais là, c'est vraiment trivial : c'est le groupe à deux éléments!
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#28 10-04-2020 13:06:29
- Tmota
- Membre
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
On cherche les sous-groupes $H$ du groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$.
Alors il y a toujours les triviaux : $H=\{\bar{1}\}$ et $H=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Est-ce qu'il en existe un autre ?
On sait que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1}\}$.
S'il en existait un autre, ce serait $H=\{\bar{0}\}$, ce qui ne se peut car il ne contient pas le neutre pour la loi $+$.
Dernière modification par Tmota (10-04-2020 13:07:02)
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#29 10-04-2020 16:59:20
- Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Je dirais plutôt $H=\{\bar 0\}$ et $H=\{\bar 1\}$.
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#30 10-04-2020 18:01:15
- Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Je fatigue !
Je vérifie, cela vaut mieux.
$H=\{\bar{0}\}$ est un sous-groupe :
1. Il contient le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}\in H$)
2. Il est stable pour l'addition (à savoir $\bar{0}+\bar{0}=\bar{0}\in H$)
3. Il est stable par passage à l'inverse (à savoir $\bar{0}^{-1}=\bar{0}\in H$)
$H=\{\bar{1}\}$ n'est pas un sous-groupe :
Il ne contient pas le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}\not\in H$)
$H=\{\bar{0},\bar{1}\}$ est un sous-groupe :
1. Il contient le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}$)
2. Il est stable pour l'addition (car $\bar{0}+\bar{0}=\bar{0}$ ; $\bar{1}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{1}=\bar{1}$ ; $\bar{1}+\bar{1}=\bar{0}$)
3. Et il est stable par passage à l'inverse (à savoir $\bar{1}^{-1}=\bar{1}$ et $\bar{0}^{-1}=\bar{0}$)
Les sous-groupes triviaux sont $H=\{\bar{0}\}$ et $H=\{\bar{0},\bar{1}\}$
Da manière générale, ce sont $H=\{e\}$ et $H=G$.
Dernière modification par Tmota (10-04-2020 18:06:53)
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#31 20-04-2020 09:41:49
- Tmota
- Membre
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Bonjour,
Ai-je écris une bêtise ?
Les groupes triviaux sont les groupes extrêmes au sens de l'inclusion, non ?
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#32 20-04-2020 11:36:23
- Fred
- Administrateur
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif
Non pas de bêtises...
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