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Tmota

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour Fred,

j'essaye de suivre le raisonnement.

Tu aurais pu dire que le groupe des inversibles de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ admet uniquement deux éléments

Oui, car $\phi(4)=2$

donc est (isomorphe à) $\mathbb Z/2\mathbb Z$

Oui aussi car $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times$ et $\mathbb Z/2\mathbb Z$ sont deux ensembles finis à deux éléments donc équipotent.

dont les sous-groupes sont $\{0\}$ et lui-même.

Là, je ne fais pas le lien.
Est-ce qu'il existe un résultat pour déterminer directement les sous-groupes de $\mathbb Z/2\mathbb Z$, et plus généralement de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ?

Encore merci pour l'aide

Fred

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Oui, il y a un résultat, mais là, c'est vraiment trivial : c'est le groupe à deux éléments!

Tmota

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

On cherche les sous-groupes $H$ du groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$.

Alors il y a toujours les triviaux : $H=\{\bar{1}\}$ et $H=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Est-ce qu'il en existe un autre ?

On sait que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1}\}$.

S'il en existait un autre, ce serait $H=\{\bar{0}\}$, ce qui ne se peut car il ne contient pas le neutre pour la loi $+$.

Dernière modification par Tmota (10-04-2020 13:07:02)

Fred

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Je dirais plutôt $H=\{\bar 0\}$ et $H=\{\bar 1\}$.

Tmota

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Je fatigue !
Je vérifie, cela vaut mieux.
$H=\{\bar{0}\}$ est un sous-groupe :
1. Il contient le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}\in H$)
2. Il est stable pour l'addition (à savoir $\bar{0}+\bar{0}=\bar{0}\in H$)
3. Il est stable par passage à l'inverse (à savoir $\bar{0}^{-1}=\bar{0}\in H$)

$H=\{\bar{1}\}$ n'est pas un sous-groupe :
Il ne contient pas le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}\not\in H$)

$H=\{\bar{0},\bar{1}\}$ est un sous-groupe :
1. Il contient le neutre pour la loi + (à savoir $\bar{0}$)
2. Il est stable pour l'addition (car $\bar{0}+\bar{0}=\bar{0}$ ; $\bar{1}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{1}=\bar{1}$ ; $\bar{1}+\bar{1}=\bar{0}$)
3. Et il est stable par passage à l'inverse (à savoir $\bar{1}^{-1}=\bar{1}$ et $\bar{0}^{-1}=\bar{0}$)

Les sous-groupes triviaux sont $H=\{\bar{0}\}$ et $H=\{\bar{0},\bar{1}\}$

Da manière générale, ce sont $H=\{e\}$ et $H=G$.

Dernière modification par Tmota (10-04-2020 18:06:53)

Tmota

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

Ai-je écris une bêtise ?
Les groupes triviaux sont les groupes extrêmes au sens de l'inclusion, non ?

Fred

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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Non pas de bêtises...