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#1 09-04-2020 15:06:50

etuupmc
Membre
Inscription : 09-04-2020
Messages : 5

Montrer une bijection

Bonjour,

J'ai toujours eu du mal à montrer des bijections sur les applications un peu complexes et là je bloque...

Je dois montrer que l'application [tex]\varphi : R^3\rightarrow R^3[/tex] définie par [tex]\varphi(u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))[/tex] est une bijection.

Je comprends bien qu'il faille montrer que c'est une injection puis que c'est une surjection mais je bloque à ces deux étapes.

J'espère trouver de l'aide ici :)

Merci d'avance

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#2 09-04-2020 17:45:02

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 954

Re : Montrer une bijection

Bonsoir,

tu es sur qu'elle est bien définie comme çà ?

[tex]\varphi : R^3\rightarrow R^3[/tex] définie par [tex]\varphi(u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))[/tex]

parce qu'elle n est pas injective..

Dernière modification par Zebulor (09-04-2020 17:51:21)

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#3 09-04-2020 18:16:47

etuupmc
Membre
Inscription : 09-04-2020
Messages : 5

Re : Montrer une bijection

Je suis désolé je ne sais pas pourquoi, j'ai oublié une partie du sujet...

Soient $\Delta  = ]0;1[^2\times]-\pi ;\pi [$ et $\varphi :R^3\rightarrow R^3$ définie par $\varphi (u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))$

On demande de montrer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\Delta $ sur son image.

Voilà. Et dans ce cadre, je n'arrive pas à montrer la bijection... Merci pour la remarque!

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#4 09-04-2020 20:57:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Montrer une bijection

Bonjour,

  Ah oui, c'est beaucoup mieux avec un sujet précis. D'abord, il y a un point qui va être facile : tu dois démontrer que c'est un $C^1$-difféomorphisme de $\Delta$ sur son image. Donc tu n'as - a priori - pas à t'occuper de la surjectivité, puisque tu t'intéresses à $\varphi:\Delta\to\varphi(\Delta)$.
Ensuite, si tu as $\varphi(u,v,w)=\varphi(u',v',w')$, tu as bien sûr $u=u'$. Ensuite, tu as $v^2=v^2\cos^2 w+v^2\sin^2 w=(v')^2(\cos w')^2+(v')^2(\sin w')^2=(v')^2$, d'où tu tires $v=v'$ et ensuite $w=w'$.
Pour la suite, j'imagine que tu veux utiliser le théorème d'inversion locale, ou une de ses conséquences.

F.

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#5 09-04-2020 21:33:55

etuupmc
Membre
Inscription : 09-04-2020
Messages : 5

Re : Montrer une bijection

Oui en fait c'est justement ce dernier point qui m'embête... Je n'ai jamais entendu parler du théorème d'inversion locale et de ses conséquences, ça va être difficile...

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#6 09-04-2020 21:48:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Montrer une bijection

Tu ne l'as pas étudié en cours?
Alors il faut que tu trouves la bijection réciproque et que tu prouves que $\varphi$ et $\varphi^{-1}$ sont de classe $C^1$ (c'est déjà évident pour $\varphi$). Cela n'a pas l'air impossible (la technique que je t'ai montré pour prouver l'injectivité doit permettre de trouver aussi la bijection réciproque).

F.

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#7 09-04-2020 21:58:11

etuupmc
Membre
Inscription : 09-04-2020
Messages : 5

Re : Montrer une bijection

Non pas encore... Ou alors je l'ai abordé en L1 mais je ne m'en rappelle vraiment pas...
Quelle est la méthode pour trouver une application réciproque? Je ne trouve pas d'explication claire sur internet...

Merci!

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#8 09-04-2020 22:29:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Montrer une bijection

Tu dois résoudre l'équation $\varphi(u,v,w)=(u',v',w')$. Etudie par exemple les exercices 9 et 10 de cette feuille.

F.

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#9 09-04-2020 22:41:31

etuupmc
Membre
Inscription : 09-04-2020
Messages : 5

Re : Montrer une bijection

Merci!

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