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#1 09-04-2020 15:06:50
- etuupmc
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Montrer une bijection
Bonjour,
J'ai toujours eu du mal à montrer des bijections sur les applications un peu complexes et là je bloque...
Je dois montrer que l'application [tex]\varphi : R^3\rightarrow R^3[/tex] définie par [tex]\varphi(u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))[/tex] est une bijection.
Je comprends bien qu'il faille montrer que c'est une injection puis que c'est une surjection mais je bloque à ces deux étapes.
J'espère trouver de l'aide ici :)
Merci d'avance
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#2 09-04-2020 17:45:02
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Montrer une bijection
Bonsoir,
tu es sur qu'elle est bien définie comme çà ?
[tex]\varphi : R^3\rightarrow R^3[/tex] définie par [tex]\varphi(u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))[/tex]
parce qu'elle n est pas injective..
Dernière modification par Zebulor (09-04-2020 17:51:21)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#3 09-04-2020 18:16:47
- etuupmc
- Membre
- Inscription : 09-04-2020
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Re : Montrer une bijection
Je suis désolé je ne sais pas pourquoi, j'ai oublié une partie du sujet...
Soient $\Delta = ]0;1[^2\times]-\pi ;\pi [$ et $\varphi :R^3\rightarrow R^3$ définie par $\varphi (u,v,w)=(u,uvcos(w),vsin(w))$
On demande de montrer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\Delta $ sur son image.
Voilà. Et dans ce cadre, je n'arrive pas à montrer la bijection... Merci pour la remarque!
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#4 09-04-2020 20:57:18
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Montrer une bijection
Bonjour,
Ah oui, c'est beaucoup mieux avec un sujet précis. D'abord, il y a un point qui va être facile : tu dois démontrer que c'est un $C^1$-difféomorphisme de $\Delta$ sur son image. Donc tu n'as - a priori - pas à t'occuper de la surjectivité, puisque tu t'intéresses à $\varphi:\Delta\to\varphi(\Delta)$.
Ensuite, si tu as $\varphi(u,v,w)=\varphi(u',v',w')$, tu as bien sûr $u=u'$. Ensuite, tu as $v^2=v^2\cos^2 w+v^2\sin^2 w=(v')^2(\cos w')^2+(v')^2(\sin w')^2=(v')^2$, d'où tu tires $v=v'$ et ensuite $w=w'$.
Pour la suite, j'imagine que tu veux utiliser le théorème d'inversion locale, ou une de ses conséquences.
F.
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#5 09-04-2020 21:33:55
- etuupmc
- Membre
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Re : Montrer une bijection
Oui en fait c'est justement ce dernier point qui m'embête... Je n'ai jamais entendu parler du théorème d'inversion locale et de ses conséquences, ça va être difficile...
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#6 09-04-2020 21:48:49
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Montrer une bijection
Tu ne l'as pas étudié en cours?
Alors il faut que tu trouves la bijection réciproque et que tu prouves que $\varphi$ et $\varphi^{-1}$ sont de classe $C^1$ (c'est déjà évident pour $\varphi$). Cela n'a pas l'air impossible (la technique que je t'ai montré pour prouver l'injectivité doit permettre de trouver aussi la bijection réciproque).
F.
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#7 09-04-2020 21:58:11
- etuupmc
- Membre
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- Messages : 5
Re : Montrer une bijection
Non pas encore... Ou alors je l'ai abordé en L1 mais je ne m'en rappelle vraiment pas...
Quelle est la méthode pour trouver une application réciproque? Je ne trouve pas d'explication claire sur internet...
Merci!
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#8 09-04-2020 22:29:07
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Montrer une bijection
Tu dois résoudre l'équation $\varphi(u,v,w)=(u',v',w')$. Etudie par exemple les exercices 9 et 10 de cette feuille.
F.
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#9 09-04-2020 22:41:31
- etuupmc
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Re : Montrer une bijection
Merci!
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