Dm produit scalaire

yannD · 09-04-2020 14:34:01

Et tu as donc deux solutions pour calculer ton produit scalaire $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$ :
1. Soit : $BC \times CA\times cos(135°)$
2. Soit : $-(BC) \times CA\times cos(45°))$ Pour le - revoir (*)
Et tu obtiens le même résultat... Vois-tu pourquoi ?

2. $-(\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{CA}$ vaut ?
$-(\overrightarrow{BC}) .\overrightarrow{CA} = ||-(\overrightarrow{BC})|| \times ||\overrightarrow{CA}||\times \cos \widehat{BCA}$
Puisque le triangle est rectangle alors l'angle $\widehat{BCA}$ vaut 45°
$-(\overrightarrow{BC})\times\overrightarrow{CA} = BC \times CA \times \cos(45°) = 4\times 4\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\times 4\times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8 \times (\sqrt{2})^2 = 16$

Dernière modification par yannD (09-04-2020 14:35:33)

yannD · 09-04-2020 14:50:24

Et tu as donc deux solutions pour calculer ton produit scalaire $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$ :
1. Soit : $BC \times CA\times cos(135°)$
2. Soit : $-(BC) \times CA\times cos(45°))$ Pour le - revoir (*)
Et tu obtiens le même résultat... Vois-tu pourquoi ?

1. $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{CA} $ vaut ?
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = ||\overrightarrow{BC}||\times||\overrightarrow{CA}||\times \cos \widehat {C'C A}$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}= BC\times CA\times\cos(135°)$
puisque je ne connais pas le formule : $cos(a+b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a)\times sin(b)$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = BC\times CA \times \cos (135°) = 4\times 4\sqrt{2} \times -0.70710678118 = $$-22.5388948123$

2. $-(\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{CA}$ vaut ?
$-(\overrightarrow{BC}) .\overrightarrow{CA} = ||-(\overrightarrow{BC})|| \times ||\overrightarrow{CA}||\times \cos \widehat{BCA}$
Puisque le triangle est rectangle alors l'angle $\widehat{BCA}$ vaut 45°
$-(\overrightarrow{BC})\times\overrightarrow{CA} = BC \times CA \times \cos(45°) = 4\times 4\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\times 4\times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8 \times (\sqrt{2})^2 = $$16$

Dernière modification par yannD (09-04-2020 14:54:53)

yoshi · 09-04-2020 15:19:52

Ave,

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = BC\times CA \times \cos (135°) = 4\times 4\sqrt{2} \times -0.70710678118 $

Je me demande pourquoi, j'ai pris du temps pour t'expliquer que :
1. $\cos(135°)=-\cos 45°$
2. Que lorsqu'on pouvait utiliser une valeur excacte, il fallait obligatoirement l'utiliser... Or, $\cos 45°=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ pourquoi utiliser la valeur approchée 0.70710678118 ?

puisque je ne connais pas le formule : cos(a+b)=cos(a)×cos(b)−sin(a)×sin(b)
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=BC \times CA\times \cos(135°)=4×4√2×−0.70710678118=−22.5388948123$

Non seulement tu ne la connais pas, mais elle inutile : $\cos(135°)=-\cos(45°)=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$
Et donc :
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=BC \times CA\times \cos(135°)=4\times 4\sqrt 2 \times \left(−\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)=-\dfrac{4\times 4\sqrt 2 \times\times \sqrt 2}{2}=-\dfrac{16 \times(\sqrt 2)^2}{2}=-16$
Qu'est-ce que c'est que ce résultat ?
$4\times 4\sqrt 2 \times (−0.70710678118)=−22.5388948123$ ?????
Un pt'it coup de Python :

>>> from math import sqrt

>>> 4*4*sqrt(2)*(-0.70710678118)

-15.999999999851848

2. $-(\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{CA}$ vaut ?
$-(\overrightarrow{BC}) .\overrightarrow{CA} = ||-(\overrightarrow{BC})|| \times ||\overrightarrow{CA}||\times \cos \widehat{BCA}$

Ça, c'est une erreur :
$||-(\overrightarrow{BC})|| \times \cdots$ et tu pers le - en route
L'écriture correcte est :
$-||(\overrightarrow{BC})|| \times \cdots$
Vois-tu pourquoi ?

Et comme je n'ai pas eu la réponse à la question : "$\cos(135°)=-\cos(45°)$, vois-tu pourquoi ?" , alors je la repose...

@+

yannD · 09-04-2020 17:15:25

parce que la norme c'est comme pour la valeur absolue, je prends une longueur

yoshi · 09-04-2020 17:19:16

RE,

As-tu compris mes remarques ?

D'autre part :

yoshi a écrit :

Et comme je n'ai pas eu la réponse à la question : "$\cos(135°)=-\cos(45°)$, vois-tu pourquoi ?" , alors je la repose...

@+

yannD · 09-04-2020 17:28:27

j'ai compris :
$\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BC}$
puisque $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} $ alors $\overrightarrow{CC'} .\overrightarrow{CA} $
l'angle que font les vecteurs $\overrightarrow{CC'} $ et $\overrightarrow{CA} $ mesure 135°
$\overrightarrow{BC} .\overrightarrow{CA} = ||\overrightarrow{BC}||\times ||\overrightarrow{CA}|| \times\cos(135°)$

Dernière modification par yannD (09-04-2020 17:29:20)

yoshi · 09-04-2020 17:37:01

Oui,

Mais est-ce que ça constitue une réponse à ma question sur les cosinus, je n'attends pas que tu me parles de vecteurs pour cette question, seulement de trigonométrie et de cercle trigonométrique :

yoshi a écrit :

Et comme je n'ai pas eu la réponse à la question : "$\cos(135°)=-\cos(45°)$, vois-tu pourquoi ?" , alors je la repose...

yannD · 09-04-2020 18:44:01

(suspicieux ), je me dit : est-ce que c'est relatif au chapitre sur les arc orientés ?
parce que je n'ai pas vu ce chapitre ...

Dernière modification par yannD (09-04-2020 18:49:34)

yannD · 09-04-2020 18:47:20

et je vois pas pourquoi il est question de cercle Trigo puisque l'on parle que d'un triangle ABC dans l'énoncé
pour le # 47 : c'est oK

yoshi · 09-04-2020 20:35:21

B'jour,

(suspicieux ), je me dit : est-ce que c'est relatif au chapitre sur les arc orientés ?
parce que je n'ai pas vu ce chapitre ...

Je sais bien que tu n'as pas vu les angles orientés (pas les arcs), je n'ai pas oublié !
Mais toi, tu as perdu de vue que c'est moi qui avais évoqué la question (post #1)
Arrête donc de "te monter le bourrichon"..
Je te parle trigo...
La voilà ta réponse : https://www.cjoint.com/c/JDjrqGY53sW
Sur ce dessin, on considère le cercle trigonométrique.
$\widehat{IOM} = 45°$
$\widehat{IOM'} = 135°$
Les points M et M' sont symétriques par rapport à (OJ)... La voilà, la raison et je vais démontrer que c'est vrai...
Je ne n'utiliserai pas la notion d'angle orienté...

Rappels.
Le sens positif va de O vers I et de O vers J.
L'axe (OI) est l'axe des cosinus,
L'axe (OJ) est l'axe des sinus.
Le cosinus de $\widehat{IOM}$ c'est l'abscisse du point M
Le cosinus de $\widehat{IOM'}$ c'est l'abscisse du point M'

Pourquoi M et M' sont-ils symétriques ?
1. $\widehat{JOM}=45°$
2. $\widehat{JOM'}=45°$
3. La demi-droite [OJ) est donc la bissectrice de $\widehat{MOM'}$ qui vaut 45°+45° =90°.
4. Le triangle MOM' est rectangle en O. Mais comme OM = OM'= rayon, il est aussi isocèle de sommet principal O.
5. Théorème :
Dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet est en même temps hauteur relative à la base, médiane et médiatrice de la base.
6. Donc (OJ) est la médiatrice de [MM'] : M et M' sont bien symétriques par rapport à (OJ).

Je note K l'intersection de [MM'] et [OJ].
7. Chacun des deux quadrilatères OKMH et OKM'H' a 3 angles droits, ce sont des rectangles.
8. On a donc OH=KM=KM'=OH'. Donc OH = OH'
Les deux axes (OI) et (OH) étant perpendiculaires H et H' sont donc également symétriques par rapport à OJ et donc
$x_M=x_H=$, $x_{H'}=x_{M'}$ et comme $x_{H'}=-x_H$ alors $x_{M'}=-x_M$
9. Donc $\cos(\widehat{IOM'})=-\cos(\widehat{IOM})$ soit $\cos(135°)=-cos(45°)$
-----------------------------------------
Oui, dans ton exo il y a un triangle rectangle...
Mais :
1. L'angle que font les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ n'est pas un angle du triangle rectangle...
Je te l'ai montré sur mon dessin précédent, non ?
2. Si tu veux absolument utiliser l'angle $\hat C$ du triangle rectangle, il te faut écrire que :
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=(-\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA})=-(CB\times CA\times \cos(\widehat{ACB}))$
Ça aussi, je te l'ai expliqué, non ?
3. Mais je t'ai aussi dit que au 1. l'angle était de 135° et au 2. l'angle était 45°...
Et que tu fasses comme au 1. avec 135° ou comme au 2. avec 45°, on obtenait le même résultat parce que
$\cos(135°)=-\cos(45°)$
Et je t'ai demandé si tu voyais le pourquoi de ce "parce que"...
Cela démontré,
le $\cos(135°)$ est négatif, donc $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$ est négatif
le $\cos(45°)$ est positif, donc $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ est positif... Mais alors y a un pb ???
Et non parce que $\overrightarrow{CB}$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{BC}$ d'où le signe - devant !

Ce signe - fait que l'on n'a pas calculé $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ mais $-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA})$ dont le résultat est bien négatif...
Et ce signe -, si je le déplace comme ceci :
$-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA})=-(CB \times CA\times \cos(\widehat{ACB}))=CB \times CA\times -(\cos(\widehat{ACB})$
on a bien $\cos(\widehat{ACC'})=-\cos(\widehat{ACB})$ c à d $\cos(135°)=-\cos(45°)$...

Bon, tu n'as pas de justification à donner dans ton DM, il est écrit : "2. Sans justifier"

Je t'ai dit que ce n'était pas sympa de de vous demander $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$, à vous qui n'aviez pas eu de cours
sur le sujet. Tu commences à comprendre ??
Mais, à la réflexion, je ne pense pas que ce soit volontaire, je pense que ce point lui a échappé quand il a donné l'exo : ça m'avait bien échappé en première lecture...

@+

Dernière modification par yoshi (12-04-2020 17:32:01)

yannD · 11-04-2020 09:26:23

Bonjour Yoshi, merci beaucoup pour la démonstration,
maintenant pour la 3a. Justifier que [tex]\vec{BD}.\vec{CA}=\vec{CD}.\vec{CA} - \vec{CB}. \vec{CA}[/tex]

Dernière modification par yannD (11-04-2020 09:37:41)

yoshi · 11-04-2020 09:34:05

Re,

Tu vas avoir besoin :
- du sens de l'observation
- de la relation de Chasles
- de savoir développer

Donc, observation :
Qu'est-ce qui change et qui ne change pas si je compare 1er membre et 2e membre ?
Si tu dois utiliser la relation de Chasles, à quel vecteur vas-tu l'appliquer ? en passant par quel point ?

yannD · 11-04-2020 09:56:32

si je compare $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}. \overrightarrow{CA}$ c'est une différence de 2 produits scalaires qui est égal aux deux vecteurs du 1er produit scalaire

yoshi · 11-04-2020 10:27:08

Ta remarque est trop superficielle, ce que tu dis des produits scalaires est trop vague et "évident"...
Tu ne peux pas répondre avec ça à la 2e question posée
Je reformule :
Qu'est-ce qui change et qui ne change pas si je compare 1er membre et 2e membre quant à la présence et de l'absence de certains vecteurs ?. Et sois précis.

yannD · 11-04-2020 13:27:59

Il n'y a pas le vecteur $\overrightarrow{BD}$ dans le 2e membre

yoshi · 11-04-2020 13:39:14

J'ai écrit :
Qu'est-ce qui change, certes, mais aussi : et qui ne change pas....
C'est si difficile pour toi de donner des réponses complètes ?

yannD · 11-04-2020 13:41:20

euh .. oui ! le vecteur $\overrightarrow{CA}$ ne change pas

yoshi · 11-04-2020 14:00:01

Bon, donc maintenant, on peut passer à la question suivante.
A quel vecteur faut-il appliquer la relation de Chasles ? Et en passant par quel point ?
Deux questions ==> deux réponses...^_^

yannD · 11-04-2020 14:35:32

1. J'applique la relation de Chasles au vecteur $\overrightarrow{CD}$
2. En passant par B

yoshi · 11-04-2020 14:50:31

Re,

Oui, ça marche aussi...
Mais pour moi, c'est une vérification..
J'y reviendrai plus tard.

Donc, tu appliques la relation de Chasles à $\overrightarrow{CD}$, en passant par B.
Maintenant, montre-moi comment tu utilises concrètement ta proposition.

yannD · 11-04-2020 15:14:47

je n'arrive plus à trouver ce que je voulais faire, avec le le vecteur $\overrightarrow{CD}$
mais entre temps, j'ai trouvé autre chose : c'est de décomposer le vecteur $\overrightarrow{BD}$ celui qui est dans le produit scalaire $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}$

yannD · 11-04-2020 15:22:33

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}$ $+$ $\overrightarrow{CD} $
$\overrightarrow{BD} = -(\overrightarrow{CB})$ $ +$ $\overrightarrow{CD}$
$(-(\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{CD}).$$\overrightarrow{CA} $$ = -\overrightarrow{CB}.$$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{CD}.$$\overrightarrow{CA}$

$(-(\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{CD}).\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$

Dernière modification par yannD (11-04-2020 15:28:31)

yoshi · 11-04-2020 15:45:12

Oui, c'est ce à quoi j'avais pensé : partir du 1er membre pour arriver au second...

Et tu avais pensé à ça :
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}). \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$
Le premier produit scalaire et le dernier s'éliminent et on obtient donc
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}$

Bon...
Tu as donc prouvé que $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$
Ce qui te donne un moyen de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}$ puisqu'il erst ébal à la différence :
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$
Et si tu remontes en arrière tu vas constater que tu vas y récupérer les valeurs exactes de $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}$ et
$\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$

Souviens-toi, j'ai insisté lourdement pour que tu calcules des valeurs exactes, parce que tu ne peux pas soustraire deux valeurs absolues et dire : ça fait 0 ! Rien ne prouve en effet que la 20e, 21e, 22e,... n _ième décimales seront toujours les mêmes...

Donc, on avance ! Tu as franchi le col du Galibier, maintenant tu es dans la descente : ce que tu viens de faire était le seul passage délicat du DM (avec le calcul de $\cos(135°)$)...

yannD · 12-04-2020 17:22:19

Bonjour Yoshi, je vais t'embêter un peu pendant ce week-end de Pâques, mais je suis en train d'apprendre la démonstration du #60 et pour le 2e "petit 1" ( où tu dis que l'angle que font les vecteurs CB et CA n'est pas un angle du triangle rectangle ) , je ne comprends plus parce que vecteur CB scalaire vecteur CA , je trouve que c'est bien un angle du triangle

Dernière modification par yannD (12-04-2020 17:22:40)

yoshi · 12-04-2020 18:38:57

B'jour,

Tu as raison :
un copier/coller non rectifié.
L'angle des vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$ est bien un angle du triangle ABC :
Je voulais écrire : c'est l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ qui n'est pas un angle du triangle rectangle.
De plus, il aurait même fallu écrire :
c'est l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ qui n'est pas un angle du triangle et il n'est pas non plus égal à l'un d'entre eux.
Vois-tu la différence de sens entre les deux formulations ?

C'est pour t'en convaincre que j'avais ajouté C' tel que $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BC}$ qui te permettait de constater (et même prouver) que cet angle mesurait 135°.
Au lieu de prendre C' tel que $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BC}$, j'aurais pu prendre un point A' tel que $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{CA}$.
Et dans ce cas, on constatait que l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ était égal à l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BA'}$ qui ne pouvait pas être égal (puisqu'il mesurait 135°) à l'un des angles du triangle rectangle ABC.

C'est plus clair comme ça ?

Quand tu dis apprendre la démo du #60
1. Tu m'inquiètes : apprendre.... par cœur ??!
Si oui, alors il vaudrait mieux comprendre le pourquoi des deux parties avant de vouloir apprendre...
2. a) Je montre sur le cercle trigo que M et M' tels que $\widehat{IOM}=45°$ et $\widehat{IOM'}=135°$ sont symétriques par rapport à (OJ).
C'est la définition qui me permet de conclure : (OJ) doit être la médiatrice de [MM']. C'est ce que je fais (faisable en 4e/3e)
b) J'ai remontré, au cas où cela où cela ait pu être nécessaire, que les deux angles $\widehat{IOM}$ et $\widehat{IOM'}$ tels que les points M et M' sont symétriques par rapport à (OJ) ont des cosinus opposés...

J'aurais préféré de beaucoup que tu finisses le travail engagé et seulement après que tu reviennes sur ce qui a été fait : je suis persuadé ces constants (depuis le début) retours en arrière sont de nature à te faire perdre le fil et nous obliger, quand tu reprends, à revenir sur des points alors oubliés.
Je me demande même si ce n'est pas une forme de procrastination inconsciente, comme le cheval qui se refuse au moment de sauter l'obstacle...

"Joyeuses" Pâques quand même...

@+

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#51 09-04-2020 14:34:01

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