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#1 08-04-2020 17:00:10

dadoudadou
Membre
Inscription : 05-01-2020
Messages : 8

Opérations sur déterminant

Bonjour à tous !

Je bloque totalement sur un exercice à propos des déterminants, je me permets donc de solliciter votre aide.

*On donne A appartenant à M3 (R), calculer le déterminant de 3A-6I3 sachant que A² = 4A - 3I3 et que ce déterminant est positif"

J'ai commencé en essayant de déduire une expression de A à partir de celle de A², ou d'utiliser les propriétés de bases pour me ramener à une équation plausible, mais dans le corrigé ils font tout à fait autrement :

Tout d’abord, on observe que, par propri ́et ́e du d ́eterminant, on a :
det(3A−6I3) = 33det(A−2I3).
Par ailleurs, en r ́e ́ecrivant l’identit ́e donn ́ee sous la forme
A2−4A+ 4I3= (A−2I3)2=I3

et en appliquant le d ́eterminant, on trouve
(det(A−2I3))2= 1,et donc  det(A−2I3) =±1.

En conclusion, comme le d ́eterminant recherch ́e est positif, on obtient det(3A−6I3) = 33= 27.


Je ne comprends pas du tout d'ou sort la transformation de l'identité

En vous remerciant d'avance pour votre aide,

D

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#2 08-04-2020 18:31:20

Aminegr8506
Membre
Inscription : 08-04-2020
Messages : 4

Re : Opérations sur déterminant

Bonjour,
Je pense qu'elle vient de l'expression A2=4A-3I3, ce qui donne A2-4A+4I3=I3
Et il a conclu par une identité remarquable

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#3 08-04-2020 21:47:50

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 837

Re : Opérations sur déterminant

Bonsoir,

A mon avis, c'est bien plus simple :

Si $A^2 = 4A-3I$ alors la matrice $B=3A-6I$ vérifie $B^2=9I$.

On conclut en prenant le déterminant.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-04-2020 21:49:54)

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#4 09-04-2020 10:38:45

dadoudadou
Membre
Inscription : 05-01-2020
Messages : 8

Re : Opérations sur déterminant

Bonjour,

Comment savez vous que B² vérifie cela ?

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#5 09-04-2020 11:58:06

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 149

Re : Opérations sur déterminant

dadoudadou a écrit :

Bonjour,

Comment savez vous que B² vérifie cela ?

Salut,

Fais le calcul et tu verras !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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