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#1 27-01-2006 14:26:33

sabine
Invité

[Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

*Je n'arrive pas à calculer le polynôme caractéristique d'une matrice M
                                       | X   -1     0       0      0     |
sachant que det(XId -M)=| 0     X    -1      0      0     |
                                       |0     0      X      -1     0     |
                                       |0      0      0       X    0     |
                                       |4    8       1      -5   (X-1)|
Merci de bien vouloir me metre les principales opérations entre les lignes et les colonnes pour m'aider à factoriser ce déterminant

**autre question: pour montrer que des vecteurs forment une base est ce qu'il faut simplement calculer le déterminant ou il faut montrer autre chose et si oui quoi?


Merci beaucoup de vos réponse qui m'aideront à avancer sur le sujet ;)

#2 28-01-2006 10:02:03

J2L2
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

Tu es ici dans un espace de dimension 5, donc pour montrer que 5 vecteurs forment une base, il te suffit montrer que leur déterminant est non nul.

Pour ton calcul de polynôme caractéristique, tu peux calculer le déterminant en développant par ex sur la 1° colonne : ça te ramène au calcul de 2 déterminants de dim 4. Puis, pour chaque dét de dim 4, tu seras amené à calculer des dét de dim 3 ... etc

#3 28-01-2006 17:39:58

sabine
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

je n'arrive toujours pas à réduire ce polynome pour le factoriser en produit de facteurs premiers .... peux tu m'aider plus précisémment stp J2L2??? merci beaucoup

#4 28-01-2006 20:37:21

John
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

Si tu développes par rapport à la dernière colonne puis dernière ligne du déterminant restant, 3 fois de suite, tu obtiens sans calcul :
dét(X.Id -M) = (x-1).x^4
Bye

#5 28-01-2006 20:52:32

sabine
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

ah oui je n'avais pas vu , j'ai fais une erreur dans l'écriture de ma matrice:

                              | X    -1     0      0     0      |
c'est det (X.Id -M)=| 0     X     -1     0     0      |
                              | 0      0      X    -1     0     |
                              | 0     0      0      X     -1     |
                              | 4     8      1    -5     (X-1)|

#6 29-01-2006 11:48:06

John
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

Même méthode de développement...
dét[x.Id - M] = x^5 - x^4 -5x^3 +x^2 + 8x + 4
Ensuite chercher des racines évidentes -2, -1, I ...
dét[x.Id - M] = [(x-1)^3]*(x-2)^2
Bye

#7 29-01-2006 15:58:11

sabine
Invité

Re : [Résolu] calcul d'un déterminant + petite question d'aide

merci john pour ton aide maintenant j'ai vu comment i lfaut faire

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