Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 06-04-2020 16:18:06

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 52

Initiation différentiabilité

Bonjour, je suis entrain de faire un exercice sur la différentiabilité :

Soient [tex]V,W[/tex] 2 espaces vectoriels normés et une application [tex]\ell : V \longrightarrow W[/tex]. Montrer l'équivalence entre :
a) [tex]\ell[/tex] est affine et continue.
b) [tex]\ell[/tex] est différentiable de différentielle constante.

Voici ce que j'ai fait :

[tex]a\implies b[/tex] : On considère [tex]\ell : v \longmapsto \alpha v+\beta[/tex]
[tex]\ell[/tex] est différentiable si [tex]\forall a,h\in V,\; \ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex] \ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha(a+h)+\beta=\alpha a+\beta+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha a+\alpha h=\alpha a+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \alpha h=d\ell_a+o(||h||)[/tex]

Et là je suis bloqué, je ne sais pas quoi faire, dois-je juste ignorer [tex]o(||h||)[/tex] et dire que [tex]d\ell_a=\alpha h[/tex] ?

[tex]b\implies a[/tex] : On a [tex]\ell[/tex] différentiable de différentielle constante [tex]k[/tex].
On a ainsi :
[tex]\ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a+o(||h||)[/tex]
[tex]\alpha h=k+o(||h||)[/tex]
Et là je suis perdu.

Merci d'avance pour votre aide.
NB : Dans ce chapitre, je ne sais pas encore que la différentielle égale à la somme des dérivées (etc ...)

Dernière modification par Guitout (06-04-2020 16:44:33)

Hors ligne

#2 06-04-2020 19:48:31

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Initiation différentiabilité

Salut,

  Commençons par le $a)\implies b)$. Tu dois commencer par montrer que $\ell$ est différentiable, car en priorité tu n'en sais rien.
Donc tu dois calculer $\ell(a+h)$ et l'exprimer sous une forme qui te permet de dire que $\ell$ est différentiable. Tu n'as pas le droit de partir de $\ell(a+h)=\ell(a)+d\ell_a(h)+o(\|h\|)$ puisque c'est justement ce que tu veux prouver. D'ailleurs, il te manque un $h$ dans le $d\ell_a$.

F.

Hors ligne

#3 06-04-2020 21:01:56

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 52

Re : Initiation différentiabilité

salut, donc je ne doit pas écrire l'égalité mais identifier les termes si j'ai bien compris ?

Ca donne : [tex]\ell(a+h)=\alpha(a+h)+\beta=\alpha a+\alpha h+\beta[/tex]
On pose : [tex]\ell(a)=\alpha a+\beta[/tex], [tex]d\ell_a(h)=\alpha h[/tex] et [tex]o(||h||)=0[/tex] ?

Si c'est ça, alors [tex]\ell[/tex] est différentiable si :
- [tex]\forall h\in V,\,d\ell_a(h)[/tex] est linéaire et continue
- [tex]o(||h||)\underset{||h||\to 0}{\longrightarrow}0[/tex] (Trivial si [tex]o(||h||)=0[/tex])

Dernière modification par Guitout (06-04-2020 21:09:17)

Hors ligne

#4 06-04-2020 22:09:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Initiation différentiabilité

Oui, c'est bien cela mais j'ai peur que tu penses qu'une application affine est une application qui s'écrit
$\ell(v)=\alpha v+\beta$, avec $\alpha$ un réel. C'est vrai si on est en dimension 1, mais en dimension plus grande, dire que
$\ell$ est affine, c'est dire que $\ell(v)=\alpha(v)+\beta$, où $\alpha$ est une application linéaire, et $\beta$ est un vecteur.
Tu ne dois donc pas écrire $\alpha a$ mais $\alpha(a)$.

La réciproque est nettement plus difficile : même en dimension 1, savoir que si $f'$ est constante, alors $f$ est affine est une propriété non triviale, qui nécessite quelque chose comme le théorème des accroissements finis ou un peu de théorie d'intégration. Difficile de pouvoir te répondre sans savoir à quels outils tu as droit.

F.

Hors ligne

#5 07-04-2020 15:57:33

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 52

Re : Initiation différentiabilité

bonjour, merci beaucoup tu m'apprends un truc sur les fonctions affines en dimension > 1.

Pour la réciproque, dans le cours nous as juste introduit la notion de différentielle, différentielle d'un produit de fonctions et différentielle d'une composée.

Hors ligne

Pied de page des forums