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#1 06-04-2020 02:52:46

KKLK
Membre
Inscription : 06-04-2020
Messages : 2

Montrer qu'un somme est finie avec l'intégrale de Lebesgue

Bonjour a tous,

Je dois faire un exercice de théorie de la mesure mais je suis bloqué et j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

L'énoncé est le suivant:
Soit [tex]f\in M^+(X,S)[/tex] une fonction mesurable, positive et bornée.
Montrez que [tex]\int f\,d\mu<\infty\Leftrightarrow\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\mu\left(\left\{x\in X:f(x)\geq\frac{1}{2^n}\right\}\right)<\infty[/tex].

Je peux supposer que [tex]\mu(X)=\infty[/tex].

Voici ce que j'ai jusqu'à présent:

[tex]A_n:=\left\{x\in X:f(x)\geq\frac{1}{2^n}\right\}[/tex]

([tex]\Rightarrow[/tex])

[tex]\frac{\mu(A_n)}{2^n}\leq\int_{A_n}f\,d\mu[/tex]

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mu(A_n)}{2^n}\leq\sum_{n=0}^{\infty}\int_{A_n}f\,d\mu=\sum_{n=0}^{\infty}\int f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu=\int\sum_{n=0}^{\infty}f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu[/tex]

Ensuite, je voudrais dire que [tex]\int\sum_{n=0}^{\infty}f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu<\infty[/tex], mais je ne sais pas comment le justifier.

([tex]\Leftarrow[/tex])

[tex]\int f\,d\mu=\sum_{n=0}^\infty\int_{A_n-A_{n-1}}f\,d\mu\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(A_n-A_{n-1})}{2^{n-1}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(A_n)}{2^{n-1}}<\infty[/tex]

Si quelqu'un peut vérifier ce que j'ai fait et m'aider avec la première partie de la démo, je l'apprécierais vraiment.

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#2 06-04-2020 06:30:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Montrer qu'un somme est finie avec l'intégrale de Lebesgue

Bonjour,

  D'abord, pour l'implication réciproque, tu as un problème avec le cas $n=0$ - c'est pour lui (l'intégration sur $A_0$), que tu vas devoir utiliser l'hypothèse que $f$ est bornée.

Pour l'implication directe, voici une piste que je n'ai pas vérifié : introduis $B_n:=\left\{x\in X:\ \frac 1{2^n}\leq f(x)<\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ pour $n\geq 1$, avec aussi $B_0=A_0$
Si tu fais ce que tu as fait pour $A_n$ avec $B_n$, tu peux sommer les indicatrices et tu trouves
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mu(B_n)}{2^n}\leq \int fd\mu.$$

Maintenant, tu peux repasser à $A_n$ en posant $S_n=\sum_{k=0}^n \mu(B_k)$ et en remarquant que
$$\sum_n \frac{\mu(A_n)}{2^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{S_n}{2^n}.$$
J'espère qu'on peut conclure en faisant une transformation d'Abel.

F.

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#3 06-04-2020 19:41:36

KKLK
Membre
Inscription : 06-04-2020
Messages : 2

Re : Montrer qu'un somme est finie avec l'intégrale de Lebesgue

Merci beaucoup! :D

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