Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 04-04-2020 21:20:38

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Dérivabilité

Bonjour

Je cherche une piste pour cet exercice :

Soit f : R → R dérivable. Donner une condition nécessaire
et suffisante pour que |f| soit dérivable.

Merci d'avance
Bonne journée

Dernière modification par hicham alpha (04-04-2020 21:21:05)


La vie est un art

Hors ligne

#2 04-04-2020 21:55:26

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 837

Re : Dérivabilité

Bonsoir,

Sans trop réfléchir, je dirai "$f$ change de signe".
Ensuite, il faut le démontrer...

Roro.

Hors ligne

#3 04-04-2020 22:19:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Dérivabilité

Salut,

  Je pense que Roro voulait dire "$f$ ne change pas de signe".
Cela dit, je ne pense pas que ce soit la bonne condition nécessaire et suffisante. Par exemple, $x^3$ change de signe en zéro, et pourtant je pense que $|x|^3$ est dérivable en 0.
Peut-être que la bonne condition est f'(x)=0 quand f(x)=0.

F.

Hors ligne

#4 04-04-2020 23:49:58

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : Dérivabilité

Bonjour

Oui c'est exactement le contre exemple qui m'a venu en esprit.
Oui je pense que la bonne condition est : f(x) =0 ==> f'(x) =0 comme vous avez mentionné.

Pour le prouver je vais tenter d'écrire mes idée (juste des idées qui m'ont venu à la tête maintenant) :

_soit x de Df ;
*si f(x) # 0 alors f garde un signe constant au voisinage de x (par continuité) et en passant au valeur absolue et en appliquant la définition pour calculer la dérivée de f en x, on aura aucun problème. Donc pas de problème pour les x tel que f(x) #0.

*si f(x) =0, si on suppose que f'(x) # 0 alors f(x) ne sera pas un extremum local, donc les deux voisinage droit et gauche ont des signes opposé si on applique f sur eux...cela étant donné, on essaye maintenant de calculer la dérivé de f en x par définition et là on aboutit à un absurde (|f| ne sera pas dérivable en x) donc nécessairement f'(x) =0.

Pour la réciproque, je pense que ça sera trivial en appliquant la définition de la dérivé en x de f ( simple vérification)

Qu'est ce que vous en pensez ? Avez vous d'autres méthodes(idées sinon) plus simples ?
Désolé, si j'ai raconté des bêtises haha j'ai écris trop vite.(la nuit)

Bonne nuit


La vie est un art

Hors ligne

#5 05-04-2020 07:26:13

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 837

Re : Dérivabilité

Bonjour,

Fred a raison (comme d'habitude), je suis allé beaucoup trop vite, et surtout sans vraiment réfléchir.
Pour Hicham, ta démonstration semble correcte !

Roro.

Dernière modification par Roro (05-04-2020 07:26:25)

Hors ligne

#6 05-04-2020 09:35:46

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : Dérivabilité

Merci beaucoups.
Oui je pense que c'est correcte aussi, mais je me demande s'il y a une autre méthode, surtout que j'ai vu cet exercice sur un TD (rolle, taf, taylor) ce n'était donc pas un TD du calcul de la dérivé, donc je doute si ça peut marcher avec les Taylors... C'est un oral qui a été posé en l'X, c'est pour cela que je cherche peut être d'autres solutions plus intéréssantes..

Bonne journée

Dernière modification par hicham alpha (05-04-2020 09:40:49)


La vie est un art

Hors ligne

#7 06-04-2020 19:30:58

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : Dérivabilité

Bonjour

Si vous avez des idées pour résoudre cet exercice autrement, merci de les partager avec moi.

Bonne journée


La vie est un art

Hors ligne

Pied de page des forums