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#1 02-04-2020 00:47:46

Fintan
Invité

Variance

Bonjour,

en probabilité, pour la variance, j'ai compris qu'on veut calculer une "moyenne de distance".

J'essaie de comprendre "d'où vient", qu'on ait pris le "CARRÉ" de la distance (entre une valeur et l'espérance).
Pourquoi le carré ?

On me dit que c'est parce-que :
si les valeurs sont à droite de l'espérance, on a des "distances positives" (ça c'est OK), et
si les valeurs sont à gauche de l'espérance, on a des "distances négatives" (et ça, ça n'a pas de sens).
ALORS, pour résoudre le problème, on pris le CARRÉ de ces distances (pour n'avoir que des valeurs positives.

Et on continue en me disant :
Le problème c'est qu'en ayant calculé le carré des distances, on se retrouve avec une unité de mesure au carré,
et DONC, la valeur d'une variance n'a pas vraiment de sens, et c'est pour cette raison, qu'on utilise la racine carré (qu'on appelle "écart-type") pour REVENIR à une unité de mesure "normale" (qui a du sens).

Ainsi, on calcul la variance, pour avoir une "moyenne de distances",
puis, on calcul sa racine carrée pour avoir une donnée qui a du sens, et donc exploitable, interprétable, utile.

La question que je me pose toujours, c'est :
Pour avoir des distances toujours positives, pourquoi on a pas utilisé une valeur absolue, plutôt qu'un carré ?
Je me dis qu'on aurait eu DIRECTEMENT une variance exploitable (qui a du sens).

Ça me parait plus "cohérent", pourtant,
j'imagine que les génies mathématiciens ayant pensé/découvert la notion de variance, ont du écarter cette l'idée.
MAIS, je ne trouve nulle part sur internet, ce "fond de pensée", et pourquoi l'idée a été rejetée.

Si quelqu'un est au courant, ça me ferai bien plaisir de savoir.
Merci.

#2 02-04-2020 07:24:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 613

Re : Variance

Bonjour,

  Tu poses là une excellente question, à laquelle je n'ai pas de réponse définitive, mais des réponses partielles tout de même.
Je crois que le premier à avoir utilisé la variance est Gauss, en 1801 : le jour du Nouvel An de 1801, l'astronome italien Giuseppe Piazzi a découvert l'astéroïde Cérès. Il a alors pu suivre sa trajectoire jusqu'au 14 février 1801. L'astéroïde perdu sur les télescopes, les scientifiques ont essayé de prédire sa trajectoire. Il a été retrouvé en fin d'année 1801 grâce aux calculs de Gauss qui a inventé à l'occasion la méthode des moindres carrés, qui est une méthode prédictive basée sur la variance (et non sur la somme des valeurs absolues des écarts).

  Il y a des raisons mathématiques à cela, et aussi des raisons pratiques. La variance, avec sa somme de carrés, s'interprète facilement comme un carré de distance dans un espace où il y a un produit scalaire. Et là, on dispose de plein d'outils - projection par exemple - qui facilite l'étude et montre que la variance est optimale dans de nombreux cas.

  On peut aussi dire que le couple (moyenne, variance) joue le même rôle que le couple (médiane, somme des valeurs absolues des écarts). Précisément, si tu as une série statisque $x_1,\dots,x_n$ et que tu cherches $x$ tel que
1. la quantité $|x-x_1|+\cdots+|x-x_n|$ est minimale : tu vas trouver pour $x$ la médiane
2. la quantité $|x-x_1|^2+\cdots+|x-x_n|^2$ est minimale : tu vas trouver pour $x$ la moyenne.
Ainsi, si ton indicateur pertinent est la moyenne, il vaut mieux lui associer la variance. Si ton indicateur pertinent est la médiane, il vaut mieux lui associer la somme des valeurs absolues des écarts.

Fred.

Hors ligne

#3 02-04-2020 09:43:05

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 149

Re : Variance

@Fred,

Bravo : clair, simple, didactique, pertinent, un peu d'épistémologie … je pense que notre ami devrait être satisfait de cette réponse.
Perso, j'ai encore appris des choses, merci à toi !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 02-04-2020 23:28:45

Fintan
Invité

Re : Variance

Oh, un grand merci Fred.
C'était une question qui revenait régulièrement me déranger, et je suis aux anges d'avoir une si bonne réponse.
Freddy à tout à fait raison.
Encore merci, beaucoup.

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