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#1 17-03-2020 09:56:18

Tmota
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Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

je cherche à faire la démonstration suivante :

Théorème a écrit :

Soit $K$ un corps commutatif et soit $(G,.)$ un sous-groupe fini du groupe $(K^*,.)$. Alors $(G,.)$ est cyclique.

Je trouve un exercice détaillant cette preuve et dont voici les questions :

Exercice a écrit :

Soit $G$ un groupe abélien fini. Pour tout $x\in G$, on note $o(x)$ l'ordre de $x$.
1) Soit $(x,y)\in G^2$, $m=o(x)$ et $n=o(y)$. On suppose que $m$ et $n$ sont premiers entre eux. Montrer que $o(xy)=mn$. Si on ne suppose plus $m$ premier avec $n$, a t-on $o(xy)=ppcm(m,n)$ ?
2) Soit $(m,n)\in(\mathbb{N}^*)^2$. Montrer l'existence de $(m',n')\in(\mathbb{N}^*)^2$ tel que $m'|m$ ; $n'|n$ ; $pgcd(m',n')=1$ ; $ppcm(m,n)=m'n'$.
3) Montrer qu'il existe $z\in G$ tel que $o(z)$ soit le ppcm des ordres des éléments de $G$ (ce ppcm est appelé l'exposant du groupe $G$).
4) Soit $K$ un corps commutatif, $G$ un sous-groupe fini du groupe multiplicatif $K^*$. Montrer que $G$ est cyclique.

1) Pas de problème.
2) J'éprouve des difficultés.
Il est écrit :
On écrit $m=\large\prod_{p\in\mathcal{P}}p^{v_p(m)}$ et $n=\large\prod_{p\in\mathcal{P}}p^{v_p(n)}$ où $\mathcal{P}$ désigne l'ensemble des nombres premiers. Alors on a :

$ppcm(m,n)=\large\prod_{p\in\mathcal{P}}p^{max(v_p(m),v_p(n))}$

C'est une écriture que j'arrive un peu à comprendre, en me basant sur des exemples.
Prenons :
$m=12=2^2\times 3^1$ et donc $v_2(12)=2$ et $v_3(12)=1$ ;
$n=18=2^1\times 3^2$ et donc $v_2(18)=1$ et $v_3(18)=2$.

Alors $ppcm(12,18)=2^{max(2,1)}\times 3^{max(1,2)}=2^2\times 3^2$.

Cela m'a l'air complexe à écrire sur des exemples mais permet de comprendre ce qu'il se passe.
En revanche, cela simplifie beaucoup l'écriture du ppcm sur un cas général comme le cas présent, sans trop rentrer dans les détails.

Ai-je bien compris l'écriture ?
Mais pourquoi l'abréviation $v_p(n)$ ?

Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

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#2 17-03-2020 13:32:02

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Oui, je pense que tu as bien compris l'écriture.
Je crois que $v_p(n)$ signifie valuation p-addique de $n$ (une façon un peu pédante de désigner le plus grand entier $\alpha$ tel que $p^\alpha$ divise $n$).

F.

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#3 17-03-2020 22:01:31

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci Fred.
Je viens de relire la partie d'un cours complet au niveau MPSI qui traite de valuation p-adique. Je dois reconnaître le côté pratique malgré la complexité en apparence.

Un théorème du cours me semble important à connaître. Il dit la chose suivante :

Théorème a écrit :

Pour tout $m$ et $n$ dans $\mathbb{Z}$, on a :
a) Pour tout $p\in\mathcal{P}\,,v_p(nm)=v_p(n)+v_p(m)$.
b) Pour $p\in\mathcal{P}\,,v_p(n+m)\ge min(v_p(n)+v_p(m))$.
c) Pour $p\in\mathcal{P}\,,v_p(n)\le v_p(m)\Leftrightarrow n|m$.
d) Si n et m sont non nuls alors pour tout $p\in\mathcal{P}\,,v_p(pgcd(n,m))=min(v_p(n),v_p(m))$ et $v_p(ppcm(m,n))=max(v_p(n),v_p(m))$.

Je fais la démonstration du a) pour commencer :
a)
Si $n=0$ et $m\neq 0$ (ou l'inverse) alors :
D'une part : $v_p(nm)=v_p(0)=\infty$.
D'autre part : $v_p(n)+v_p(m)=v_p(0)+v_p(m)=\infty+v_p(m)=\infty$.
Donc : $v_p(nm)=v_p(n)+v_p(m)$

Si $n$ et $m$ sont tous les deux non nuls alors, notons $v_p(n)=k$ et $v_p(m)=k'$.
La caractérisation donne alors :
$n=p^kn'$ avec $p$ qui ne divise pas $n'$ soit $pgcd(n',p)=1$ ;
$m=p^{k'} m'$ avec $p$ qui ne divise pas $m'$ soit $pgcd(m',p)=1$.

Et donc :
$nm=p^{k+k'}n'm'$.

Enfin, vérifions que $p$ ne divise pas $n'm'$.

Notons $pgcd(n'm',p)=d$. Alors, en particulier, $d|p$ et donc $d=1$ ou $d=p$. Mais si $d=p$ alors $p$ diviserait $n'm'$ et, par le lemme de Gauss, $p$ diviserait $m'$, ce qui n'est pas. Donc $d=1$ et donc $pgcd(n'm',p)=1$ qui impose que $p$ ne divise pas $n'm'$ (car sinon, $pgcd(n'm',p)$ serait un multiple de $p$).

De cette écriture, on déduit que $v_p(nm)=k+k'=v_p(n)+v_p(m)$.

Cela m'a l'air un peu tiré par les cheveux, mais juste - je crois.
Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Tmota (17-03-2020 22:03:35)

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#4 19-03-2020 11:09:21

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

j'ai réussi à débloquer la situation. Je suis à la question 3 du post initial. Voici ce que je fais :

Je note $card(G)=s$ et $G:=\{x_s,\cdots,x_s\}$.

Il s'agit de prouver qu'il existe $z\in G$ de sorte que $o(z)=ppcm(o(x_1),\cdots,o(x_s))$.

Pour cela je choisis $z\in G$ tel que $z$ soit d'ordre maximal $m$. Je fixe ensuite un élément $x\in G$ quelconque d'ordre $n$. Et je prends $n'$ et $m'$ comme dans la question 2.

L'élément $z^{\frac{m}{m'}}$ a pour ordre $m'$ puisque :

- $(z^{\frac{m}{m'}})^{m'}=z^m=1$
- si $(z^{\frac{m}{m'}})^{r}=1$ avec $r>0$ alors $z^{r\frac{m}{m'}}=1$ et donc $o(z)=m|r\frac{m}{m'}$ ce qui donne $m'|r$.

Donc l'ordre de $z$ est exactement $m'$.

Question : Si je dis $a|b \Rightarrow ca|cb$ (avec $c$ non nul), est-ce que j'écris une bêtise ?

De même, et avec une démonstration identique, l'élément $x^{\frac{n}{n'}}$ a pour ordre $n'$.

En utilisant la question 1, je peux donc dire que $o(z^{r\frac{m}{m'}}x^{\frac{n}{n'}})=n'm'=ppcm(n,m)\le m$ vu que $z\in G$ est d'ordre maximal $m$.

Et là, je poursuis comme cela, mais être certain de ce que j'écris :
Notons $M=ppcm(n,m)$. Alors $M\le m$ est multiple de $n$ et $m$. Ce qui autorise à écrire $M=k\times m$ d'une part et $M=k'\times n$ d'autre part.

Du fait que $M=k\times m\le M$, on déduit que $k=1$ et donc $M=m$.
Du fait que $M=k'\times n$, on déduit que $m=k'\times n$ et donc $n|m$.

Donc pour tout élément $x\in G$, on a $o(x)|m$.

Tous les éléments de $G$ ont un ordre divisant $m$.

Mais je ne fais pas le lien avec le ppcm.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci :)

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#5 19-03-2020 12:05:05

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Tmota a écrit :

Question : Si je dis $a|b \Rightarrow ca|cb$ (avec $c$ non nul), est-ce que j'écris une bêtise ?

Non!

Tmota a écrit :

Donc pour tout élément $x\in G$, on a $o(x)|m$.

Tous les éléments de $G$ ont un ordre divisant $m$.

Mais je ne fais pas le lien avec le ppcm.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci :)

Puisque $m$ est un multiple de l'ordre de n'importe quel élément de $x$, le ppcm de l'ordre des éléments de $G.$ est inférieur ou égal à $m$ par la définition du plus petit commun multiple.
Mais $m$ est l'ordre d'un élément du groupe, donc est inférieur au ppcm de l'ordre des éléments du groupe.

Donc finalement, $m$ est le ppcm de l'ordre des éléments.

F.

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#6 19-03-2020 12:59:12

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci Fred.
Je crois que je comprends mieux :

On vient de prouver que : $\forall x\in G, o(x)|m$.

Donc : $o(x_1)|m ,\,\,  o(x_2)|m ,\,\, \cdots ,\,\, o(x_s)|m$.

Et donc : $ ppcm(o(x_1),\cdots , o(x_s))|m$.

Soit : $ ppcm(o(x_1),\cdots , o(x_s))\le m$.

Réciproquement, comme $z\in G$, alors $ppcm(o(x_1)\,,\cdots \,,o(x_s))=ppcm(o(x_1),\cdots\,,o(z)\,,\cdots \,,o(x_s))$.

On a donc : $o(z)|ppcm(o(x_1),\cdots\,,o(z)\,,\cdots \,,o(x_s))$.

Soit : $m=o(z)|ppcm(o(x_1),\cdots \,,o(x_s))$.

Et donc : $m\le ppcm(o(x_1),\cdots , o(x_s))$.

D'où finalement $m=ppcm(o(x_1),\cdots , o(x_s))$.

Ai-je bien compris ?

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#7 19-03-2020 13:38:08

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Oui, tu as bien compris.

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#8 19-03-2020 14:31:44

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci beaucoup :)
Pouvez-vous me dire ce que vous pensez de ce passage :

Tmota a écrit :

En utilisant la question 1, je peux donc dire que $o(z^{r\frac{m}{m'}}x^{\frac{n}{n'}})=n'm'=ppcm(n,m)\le m$ vu que $z\in G$ est d'ordre maximal $m$.

Et là, je poursuis comme cela, mais être certain de ce que j'écris :
Notons $M=ppcm(n,m)$. Alors $M\le m$ est multiple de $n$ et $m$. Ce qui autorise à écrire $M=k\times m$ d'une part et $M=k'\times n$ d'autre part.

Du fait que $M=k\times m\le M$, on déduit que $k=1$ et donc $M=m$.
Du fait que $M=k'\times n$, on déduit que $m=k'\times n$ et donc $n|m$.

Je trouve que c'est juste, mais un peu lourd dans la rédaction.

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#9 19-03-2020 20:20:03

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

J'imagine que tu veux écrire $M\geq m$...

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#10 19-03-2020 21:46:10

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

En fait je viens de comprendre :

(1) on a $o(z^{r\frac{m}{m'}}x^{\frac{n}{n'}})=n'm'=ppcm(n,m)\le m$ car $z\in G$ est d'ordre maximal $m$.
(2) et on a $ppcm(n,m)\ge m$.

Donc finalement $ppcm(n,m)=m$.

Et donc $n|m$.

Et le reste découle :)

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#11 21-03-2020 13:19:12

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour.

J'ai repris la question 3 aujourd'hui et je pense avoir bien compris : ce que j'ai écrit dans mon message précédent me semble bon.

Par contre, je ne vois pas comment justifier l'existence d'un élément $z\in G$ d'ordre maximal $m$ ?

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#12 21-03-2020 22:28:39

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Dans un ensemble fini d'entiers, tu as toujours un plus grand élément?

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#13 22-03-2020 13:09:24

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Comme $G$ est fini alors tout élément de ce groupe a un ordre fini. De surcroît, si l'on considère l'ensemble des ordres des éléments du groupe G, alors c'est un ensemble fini d'entiers donc admet un plus grand élément.

Ai-je bien compris ?

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#14 22-03-2020 20:13:48

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Oui.

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#15 29-03-2020 15:06:38

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci !
Pour la dernière question, voilà ce que j'ai écrit :
Soit $K$ un corps commutatif.
Soit $G$ un sous-groupe fini du groupe multiplicatif $(K^*,.)$.
Montrons que $G$ est cyclique.

Soit $x\in G$.
On sait qu'il existe un élément $z\in G$ d'ordre maximal $m$ qui est égal au ppcm des ordres des éléments de $G$.
Alors $x^m=1$.

Par conséquent, $G\subset\{x\in K\mid x^m-1=0\}$.

Or le polynôme $X^m-1\in K[X]$ a au plus $m$ racines.

Donc $n\le m$.

Mais $card(<z>)\mid card(G)$ et donc $m\mid n$ et donc $m\le n$.

D'où $n=m$.

Par conséquent, $<z>\subset G$ et $card(<z>)=card(G)$, d'où $G=<z>$.

Qu'en pensez-vous ?

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#16 02-04-2020 07:10:01

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

j'ai écrit une bêtise ?

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#17 02-04-2020 09:49:47

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Non, je crois que ce que tu as écrit fonctionne.

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#18 07-04-2020 16:03:35

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci !

Dans la question 3, j'ai rédigé différemment pour éviter l'excès de formalisme.

J'ai écrit ceci :

Notons $M$ le ppcm des ordres des éléments de G.

On a prouvé que pour tout $x$ élément de $G$ d'ordre $n$, $m=ppcm(m,n)$. Donc $n\mid m$. Par conséquent $m$ est multiple de tous les ordres des éléments de $G$. $M$ étant le plus petit d'entre eux, on a $M\le m$.

Réciproquement, puisque $m$ est l'ordre de l'un des éléments de $G$ alors $m\mid M$ et donc $m\le M$.

Finalement, $m=M$.

Qu'en pensez-vous ?

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#19 07-04-2020 20:27:30

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Je ne comprends pas ta rédaction. Qu'est-ce que $m$?

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#20 08-04-2020 14:55:40

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

$m$ désigne l'ordre maximal de l'élément $z\in G$.

$M$ désigne le ppcm des ordres des éléments de $G$.

Alors on a $M=m$ ?

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#21 08-04-2020 15:06:07

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Alors d'accord.

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#22 08-04-2020 15:14:11

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Merci !

Si le triplet $(A,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire, alors le couple $(A^\times,\times)$ est toujours un groupe : groupe multiplicatif des inversibles.

Dans cet exercice, on prouve que si l'anneau en question est un corps, alors tout sous-groupe du groupe multiplicatif des inversibles est cyclique.

Est-il possible d'avoir un anneau au départ qui ne soit pas un corps et que pourtant le résultat reste valable ?

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#23 08-04-2020 19:27:27

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

J'essaierai bien avec $A=\mathbb Z/4\mathbb Z$.

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#24 09-04-2020 15:38:09

Tmota
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

alors, le triplet $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+,\times)$ est un A.C.U.

Il n'est pas un corps car 4 n'est pas premier.

Le couple $((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times,\times)$ est toujours un groupe pour la loi $\times$.

On sait que $card((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times)=\phi(4)=\phi(2^2)=2^{2}-2^{2-1}=4-2=2$.

Les inversibles de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ sont les $\bar{k}$ tel que $pgcd(k,4)=1$. Soit $\bar{1}$ et $\bar{3}$.

D'où $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times=\{\bar{1},\bar{3}\}$.

Je prends $G=<\bar{3}>$.

C'est un sous-groupe fini de $((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times,\times)$.

Et il est cyclique.

Qu'en pensez-vous ?

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#25 09-04-2020 20:03:35

Fred
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Re : Sous-groupe d'un corps commutatif

Bonjour,

  Oui, c'est correct mais c'est très long. Tu aurais pu dire que le groupe des inversibles de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ admet uniquement deux éléments, donc est (isomorphe à) $\mathbb Z/2\mathbb Z$, dont les sous-groupes sont $\{0\}$ et lui-même.

F.

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