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#1 31-03-2020 21:41:00

Ardus1
Invité

Groupes commutatifs

Bonjour à tous,
j'espere que tout le monde va bien dans ces temps un peu difficiles.
Est-ce quelqu'un pourrait me donner un coup de main sur cet exercice?

Pour tout groupe commutatif G d’ordre 1000, on note G10 l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant 10.
1. Montrez que G10 est un sous-groupe de G.
2. De ́crivez tous les groupes commutatifs d’ordre 1000 à isomorphisme près.
3. De ́crivez dans chaque cas le sous-groupe G10.
4. Si G et G′ sont deux groupes commutatifs de cardinal 1000, montrez que G ≃ G′ si et seulement si les groupes G10 et G′10 ont le même cardinal.

1- 10 divise 1000 donc pour le th. de Lagrange G10 est un sous-groupe de G

2- 1000=2^3*5^3 donc on en dèduit que tous les groupes commutatifs d'ordre 1000 à isomorphisme près sont:
    1) Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z     2) Z\2Z x Z\500Z      3) Z\5Z x Z\5Z x Z\40Z       
    4) Z\5Z x Z\200Z              5) Z\10Z x Z\10Z x Z\10Z        6) Z\10Z x Z\100Z  7) Z\1000Z

3- 1) Z\2Z      2) Z\2Z      3) Z\5Z    4) Z\5Z     5) Z\10Z   6) Z\10Z    7) il n'ya pas

4- je ne comprend pas !!! G et G' ont les même groupes commutatifs d'ordre 1000 à isomorphisme près donc c'est triviale???

Je dois preciser que  on a etudiè une introdution à ce sujet et je suis un peu perdu!!!
Merci d'avance pour votre aide et vos indications !!!!

#2 31-03-2020 22:33:40

Fred
Administrateur
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Re : Groupes commutatifs

Bonjour,

  Il va effectivement falloir reprendre certaines bases. Déjà, la première question, je ne suis pas d'accord avec ce que tu as écrit. Que dis le théorème de Lagrange? Est-ce que sa conclusion est : "alors machin chose est un sous-groupe de G"? Parce que toi, c'est ce que tu fais ici!

F.

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#3 01-04-2020 11:30:35

Ardus1
Invité

Re : Groupes commutatifs

Bonjour,

Merci pour ta reponse. J'ai modifié la première reponse :

1- G10 ={  x ∈ G tel que son ordre est 2,5, ou 10}.
    Donc l'element neutre e appartient à G10 , pour tout x,y ∈ G10 on (xy)^10=e et pour tout x ∈ G10 son inverse
    x^(-1) ∈ G10 ( respectivement x, x^4, x^9 si l'ordre de x est 2, 5, ou 10)
   On a montré que G10 est un sous-groupe de G.

J'espère que c'est correct
Des remarques ou suggestions sur les autres reponses ?
Est-que quelqun peut me conseiller des textes en ligne sur ce sujet ? J'ai trouvè des leçons mais elles sont trop approfondies et les
documents de mon prof sont un peu flous.

Merci encore pour votre aide et bonne journèe.

#4 01-04-2020 12:26:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 648

Re : Groupes commutatifs

Ok, maintenant c'est correct.
Pour le 2), je te fais confiance pour avoir traité tous les cas.

Pour le 3), je ne comprends pas ce que tu as fait. Et en plus, Z/2Z n'est pas une partie de Z/2ZxZ/2ZxZ/250Z donc ce ne peut pas en être un sous-groupe.

F.

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#5 01-04-2020 14:55:21

Ardus
Membre
Inscription : 31-03-2020
Messages : 20

Re : Groupes commutatifs

Merci encore.
Pour le 3 je ne suis pas sûr :

pour le th. chinois on peut écrire :
1- Z\250Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\5Z x Z\2Z ,on obtient G10 = Z\2Z x Z\2Z x Z\5Z
2- Z\500Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\5Z x Z\4Z ,on obtient G10 = Z\2Z x Z\5Z
3- Z\40Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\2Z x Z\5Z ,on obtient G10 = Z\5Z x Z\5Z x Z\2Z
4- Z\200Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\25Z  ,on obtient G10 = Z\5Z x Z\2Z
5- dans ce cas G10=G
6- Z\100Z ≅ Z\10 x Z\10Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\10Z
     ( mais aussi Z\100Z ≅ Z\2Z x Z\2Z xZ\25Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\2Z 
                   et Z\100Z ≅ Z\5Z x Z\5Z xZ\4Z  ,on obtient G10 = Z\10Z x Z\5Z ou je me trompe ?)
7- ??? Z\2Z , Z\5Z ou Z\10Z ?


La question 4 je ne sais pas du tout comment l'approcher....

Dernière modification par Ardus (01-04-2020 16:32:42)

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#6 01-04-2020 21:05:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 648

Re : Groupes commutatifs

Je reviens sur le 2. Je pensais que tu avais appliqué correctement le théorème de structure des groupes abéliens finis, mais cela ne semble pas être le cas.
Si $G$ est un groupe commutatif d'ordre 1000, tu sais qu'il s'écrit, à isomorphisme près, sous la forme
$$\mathbb Z/q_1\mathbb Z\times \mathbb Z/q_2\mathbb Z\times\cdots\times Z/q_l\mathbb Z$, où les $q_i$ sont des puissances de nombres premiers. Ici, ce ne peut être que des puissances de 2 ou des puissances de 5.
Pour les puissances de 2, tu dois récupérer à la fin 2^3. Tu as donc 3 possibilités :
* un seul terme, $q_1=2^3$.
* deux termes, $q_1=2$ et $q_2=2^2$.
* trois termes, $q_1=q_2=q_3=2$.
C'est la même chose pour les puissances de 5, donc à la fin tu dois obtenir 9 groupes différents, à isomorphisme près, et non 7.

Ensuite, je ne comprends absolument pas ce que tu fais quand tu écris le sous-groupe des éléments d'ordre 10.
Voici une méthode sur un exemple.
Imagine que ton groupe soit $Z/2Z\times Z/4Z\times Z/125 Z$.
Un élément de ce groupe est un triplet $(\bar a,\bar b,\bar c)$. Il est d'ordre 10 si $(10\bar a,10\bar b,10\bar c)=(\bar 0,\bar 0,\bar 0)$ dans ce groupe c'est-à-dire si $10a=0\ [2]$, $10b=0\ [4]$ et $10c=0\ [125]$.
On a toujours $10a=0\ [2]$, donc pas de conditions sur $a$. On a $10b=0\ [4]$ si $10b=4k$ pour un certain $k$ dans $\mathbb Z$, ou si $5b=2k$. Ainsi, $2|b$ et on a $b=2m$, $m\in \mathbb Z$. On a $10c=0\ [125]$ ssi $10c=125l$ pour un certain $l$, c'est-à-dire si $2c=25l$, c'est-à-dire si $25$ divise $c$. Ainsi, dans ce groupe $G_{10}=\{(\bar a,\overline{2m},\overline{25n}):\ a,m,n\in\mathbb Z\}$.
On peut faire de même avec tous les autres groupes (cela demande un petit peu de travail, mais c'est répétitif).

F.

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#7 02-04-2020 15:15:58

Ardus
Membre
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Messages : 20

Re : Groupes commutatifs

Merci beaucoup Fred,
Je n'avais rien compris et j'essayais de deviner.

2- (j'ai trouvè les 2 derniers)
    1000=2^3*5^3 donc on en dèduit que tous les groupes commutatifs d'ordre 1000 à isomorphisme près sont:
    1) Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z     2) Z\2Z x Z\500Z      3) Z\5Z x Z\5Z x Z\40Z       
    4) Z\5Z x Z\200Z              5) Z\10Z x Z\10Z x Z\10Z        6) Z\10Z x Z\100Z 
    7) Z\2Z x Z\10Z x Z\50Z       8) Z\5Z x Z\10Z x Z\20Z      9) Z\1000Z

3-     On note G10 ={x,y,z} l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant 10, donc respectivement d'ordre 10,5 et 2

        1)  G10={(a,b,25c),(2a,2b,50c),(a,b,125c) : a,b,c∈Z}      2)  G10={(a,50b),(2a,100b),(a,250b) : a,b∈Z}         
        3)  G10={(a,b,4c),(a,b,8c),(5a,5b,20c) : a,b,c∈Z}           4)  G10={(a,20b),(a,40b),(5a,100b) : a,b∈Z}           
        5)  G10={(a,b,c),(2a,2b,2c),(5a,5b,5c) : a,b,c∈Z}           6)  G10={(a,10b),(2a,20b),(5a,50b) : a,b∈Z}
        7)  G10={(a,b,5c),(2a,2b,10c),(a,5b,25c) : a,b,c∈Z}       8)  G10={(a,b,2c),(a,2b,4c),(5a,5b,10c) : a,b,c∈Z}     
        9)  G10={(100n),(200a),(500a): a∈Z}

4- pourriez vous me donner une indication pour repondre à la derniere question ?

Merci encore Fred pour ton aide.

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#8 02-04-2020 15:35:29

Fred
Administrateur
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Re : Groupes commutatifs

Je ne comprends toujours pas tes réponses à la question 3.
Pour la question 4. une fois que tu auras obtenu les bons G10, tu dois calculer leur cardinal. Normalement, ils doivent tous être différents.

F.

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#9 02-04-2020 16:18:58

Ardus
Membre
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Re : Groupes commutatifs

J'ai appliqué la méthode que tu a montré:

Je suis désolé si ce n'est pas trop clair mais je ne sais pas mettre de tirets sur les caractères

pour Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z
on note G10 ={x,y,z} l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant 10, donc respectivement d'ordre 10,5 et 2

G_10 ={éléments de G d’ordre 10}  On a (10a,10b,10c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
10a= 2k 10b=2l 10c=250m
donc on obtient G_10={(a,b,25p): (a,b,p) ∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

G_5 ={éléments de G d’ordre 5}  On a (5a,5b,5c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
5a=2k 5b=2l 5c=250m 
donc on obtient G_10={(2p,2q,50r): (p,q,r )∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

G_2 ={éléments de G d’ordre 2}  On a (2a,2b,2c)=(0,0,0) pour un certain k,l,m dans Z
2a=2k 2b=2l 2c=250m 
donc on obtient G_10={(a,b,125p): (a,b,p) ∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

en conclusion:
G10={(a,b,25c),(2a,2b,50c),(a,b,125c) : (a,b,c)∈ Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z}

Dernière modification par Ardus (02-04-2020 18:03:02)

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#10 02-04-2020 16:48:58

yoshi
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Re : Groupes commutatifs

Re

Si tu utilisais le Code Latex tout serait plus simple...
Exemple pêché dans le post de Fred
$G_{10}=\{(\bar a,\overline{2m},\overline{25n}):\ a,m,n\in\mathbb Z\}$
Voilà le code sous-jacent :
G_{10}=\{(\bar a,\overline{2m},\overline{25n}):\ a,m,n\in\mathbb Z\}
Il suffit d'encadrer une formule avec un dollar (de chaque côté) et la Prévisualisation te montre la formule de Fred au dessus...
Explications :
L'underscore (AltGr + 8) permet de mettre un indice :
Compare :
G10  --> $G10$
et
G_{10} --> $G_{10}$

Les accolades.
Pour les voir, il faut les "échapper" --> \{ --> $\{$  ou \} --> $\}$, les considérer comme des mots-clés qui sont eux aussi précéder de l'anti-slash \

a --> $a$   mais \bar a --> $\bar{a}$ pour surligner un caractère
pour en surligner un groupe, c'est \overline : \overline{abcd} --> $\overline{abcd}$

Le dollar de début et le dollar de fin indiquent à Latex qu'il s'agit d'une formule et qu'elle est comprise entre les 2 symboles du dollar...

Symbole d'appartenance : \in  --> $\in$

Symboles des ensembles de nombres :
\mathbb N  \mathbb Z  \mathbb Q  \mathbb R  \mathbb C -->  $\mathbb N$  $\mathbb Z$  $\mathbb Q$  $\mathbb R$ $ \mathbb C$

\mathbb est le mot clé désignant la police spécifique.

Tu t'y mets quand ?

@+


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#11 02-04-2020 18:19:24

Ardus
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Re : Groupes commutatifs

Merci Yoshi .

J'ai appliqué la méthode que tu a montré (Fred):

pour Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z
on note G10 ={x,y,z} l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant 10, donc respectivement d'ordre 10,5 et 2

G_10 ={éléments de G d’ordre 10}  On a $ (10\bar a,10\bar b,10\bar c)=(\bar 0,\bar 0,\bar 0)$ pour un certain k,l,m dans Z
10a= 2k 10b=2l 10c=250m
donc on obtient G_10={$ (\bar a,\bar b,\overline{25p})$: a,b,p ∈ Z}

G_5 ={éléments de G d’ordre 5}  On a $ (5\bar a,5\bar b,5\bar c)=(\bar 0,\bar 0,\bar 0)$ pour un certain k,l,m dans Z
5a=2k 5b=2l 5c=250m
donc on obtient G_10={$ (\overline{2p},\overline{2q},\overline{50r})$: p,q,r ∈ Z}

G_2 ={éléments de G d’ordre 2}  On a $ (2\bar a,2\bar b,2\bar c)=(\bar 0,\bar 0,\bar 0)$ pour un certain k,l,m dans Z
2a=2k 2b=2l 2c=250m
donc on obtient G_10={$ (\bar a,\bar b,\overline{125p})$:a ,b,p ∈ Z}

en conclusion:
G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{25c}),(\overline{2a},\overline{2b},\overline{50c}),(\bar a,\bar b,\overline{125c})$ : a,b,c∈ Z}

Dernière modification par Ardus (02-04-2020 19:02:52)

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#12 02-04-2020 20:43:33

Fred
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Re : Groupes commutatifs

En fait, ce que j'ai fait, ce n'est pas l'ensemble des éléments d'ordre 10, mais le sous-groupe des éléments d'ordre 10, ce qui devrait simplifier beaucoup tes résultats (il n'y a pas 3 cas à étudier à chaque fois).

F.

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#13 02-04-2020 23:47:39

Ardus
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Re : Groupes commutatifs

Merci, si j'ai bien compri on obtient  :

1- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{25c})$ : a,b,c ∈ Z} et G10 a cardinalité 40 (cardinal = nombre de elements de G10 dans Z\2Z x Z\2Z x Z\250Z dans ce cas)
2- G10={$ (\bar a,\overline{50b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 20
3- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{4c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 250
4- G10={$ (\bar a,\overline{20b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 50
5- G10={$ (\bar a,\bar b,\bar c)$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 1000
6- G10={$ (\bar a,\overline{10b})$ : a,b ∈ Z} et le cardinal de G10 est 100
7- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{5c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 200
8- G10={$ (\bar a,\bar b,\overline{2c})$ : a,b,c ∈ Z} et le cardinal de G10 est 500
9- G10={$ (\overline{100a})$ : a ∈ Z} et le cardinal de G10 est 10

Les cardinal de G10 est différent pour chaque cas donc on en dèduit que :
G ≃ G′ si et seulement si les groupes G10 et G'10 ont le même cardinal

Dernière modification par Ardus (03-04-2020 14:09:29)

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