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cécile

Invité

[Résolu] question de projecteur!!

Si on suppose que p+q est un projecteur (sachant que p et q sont eux-même projecteur) comment peut -on montrer que     Im(p+q)= Im p + Im q  (le '+' est en somme directe)????
comment déterminer aussi Ker(p+q)??
merci de votre réponse

J2L2

Invité

Re : [Résolu] question de projecteur!!

p et q étant des projecteurs, pop = p et qoq=q.

si p+q est aussi projecteur on a (p+q)o(p+q)=p+q d’où poq = - qop ou pq+qp=0
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montrons que Im(p+q) inclus dans Imp+Imq : soit x dans Im(p+q) alors : (p+q)(x) = x donc  x = p(x) + q(x) appartient bien à Imp+Imq

réciproquement soit x dans Imp+Imq  alors x = y + z avec p(y)=y et q(z)=z d’où (p+q)(x) = p(x) + q(x) = p(y) + p(z) + q(y)+q(z) = y+poq(z) + qop(y) + z = y+z = x donc x est dans Im(p+q)

donc :  Im(p+q)=Imp+Imq
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Imp et Imq sont en somme directe : en effet, soit x dans Imp et Imq à la fois : on a x=p(x)=q(x) et q(x)+p(x)=2x

Or, p(x)=pq(x) et q(x)=qp(x)=-pq(x) d’où p(x)+q(x)=0=2x et donc x=0     
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J2L2

Invité

Re : [Résolu] question de projecteur!!

Tu n'auras aucun mal ensuite à montrer que :

                                         ker(p+q)  = ker p INTER  ker q