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#1 24-03-2020 04:49:43

Olivier Méndez
Invité

Centre d'une sous-algèbre de Lie

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez très bien.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur :( , pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Le problème est le suivant:
Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne [tex]L \subset gl_{n} [/tex] , telle que la forme bilinéaire [tex]b(x,y)=tr(x,y) [/tex] est non dégénéré sur [tex]L\times{}L[/tex]. Montrer que le centre de [tex]L[/tex], dénoté par [tex]Z(L)[/tex] se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait  c'est essayer montrer que [tex]L[/tex] est reductive, comme ça, on aurait que [tex]L=Z(L)\oplus{[g,g]}[/tex] et aussi que [tex][L,L] \subset sl_{n}[/tex] est semi-simple.
D'autre part, nous avons que [tex]gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}[/tex].
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si [tex]x\in{Z(g)}[/tex] puisque [tex][L,L] \subset sl_{n}[/tex], alors [tex]x \in{span\left\{{I}\right\}}[/tex]. Mais un copin m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai , et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé de montrer que [tex]L[/tex] se décompose sous la forme [tex] L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots  \oplus{}W_{s}[/tex], avec [tex]V_{i}, W_{j}[/tex] idéaux de [tex]L[/tex] telle que [tex]dimV_{i}=1[/tex], [tex]dimW_{i} \geq 2[/tex] , et avec [tex]b[/tex] non dégénéré sur chaque [tex]V_{i} \times{} V_{i}[/tex] et sur chaque [tex]W_{i} \times{} W_{i}[/tex], ainsi on aurait que [tex]Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}[/tex].
Finalement, essayer montrer que si  [tex]V[/tex] est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendrer par une matrices diagonal, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.

#2 24-03-2020 04:54:10

Olivier Méndez
Invité

Re : Centre d'une sous-algèbre de Lie

J'ai oublié de dire que [tex]W_{i}[/tex] doit être un idéal simple!

#3 28-03-2020 16:12:27

Olivier Méndez
Invité

Re : Centre d'une sous-algèbre de Lie

Mon copain a trouvé un autre contre-exemple, je laisse le lien ici au cas où cela fonctionnerait pour quelqu'un à l'avenir
Contre-exemple

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