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#1 27-03-2020 15:59:22

Slifer
Membre
Inscription : 27-03-2020
Messages : 5

Probabilités

Bonjour,

Je reste bloqué devant l’exercice suivant, une indication serait la bienvenue :)
Ce qui me pose problème est le fait qu’on soit dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
Le problème est le suivant :
On suppose que le vecteur aléatoire [tex]X=(X_1,…,X_n)[/tex] possède une densité [tex]f[/tex] par rapport à la mesure de Lebesgue [tex]\lambda_n[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
On pose [tex]S=X_1 + … + X_k[/tex] pour [tex]1 \leq k \leq n[/tex]. Il faut montrer que [tex](S_1,…,S_n)[/tex] possède une densité [tex]g[/tex] par rapport à [tex]\lambda_n[/tex] que l’on doit préciser.

Je suppose qu’on part de la définition mais je ne vois pas trop comment procéder.

[tex]\forall A \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f(x) d\lambda_n (x)[/tex] avec [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex].

En vous remerciant d’avance ;)

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#2 27-03-2020 22:25:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : Probabilités

Salut,

  J'imagine que tu voulais noter $S_k=X_1+\cdots+X_k$.
Voici une méthode.

Tu sais que $P(S\in A)=P( (X_1,X_1+X_2,\dots,X_1+\dots+X_n)\in A)$.
Définis l'application linéaire $h$ sur $\mathbb R^n$ par $h(x_1,\dots,x_n)=(x_1,x_1+x_2,\dots,x_1+\cdots+x_n)$.
Alors $P(S\in A)=P( h(X) \in A)=P(X\in h^{-1}(A))=\int_{h^{-1}(A)}f(x)d\lambda_n(x)$.
Tu dois pouvoir ensuite t'en sortir avec un petit changement de variables.

F.

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#3 28-03-2020 13:14:07

Slifer
Membre
Inscription : 27-03-2020
Messages : 5

Re : Probabilités

Merci de ta réponse. Effectivement il s’agit bien de [tex]S_k[/tex].

On a donc [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x)[/tex].

Pour faire un changement de variable on suppose h inversible (suffisant car h linéaire il me semble ?).
On a donc [tex]\Phi : A \rightarrow h^{-1}(A)[/tex] difféo avec [tex]\Phi(x)=h^{-1}(x)[/tex].

Ainsi, [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x) = \int_A f(\Phi(x)) | \det J (\Phi (x)) | d\lambda_n (x) = \int_A f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | d\lambda_n(x) [/tex]

On pose [tex] g(x)= f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | [/tex] et c’est bon ?
Pourquoi g est une densité ?

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#4 28-03-2020 13:30:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 627

Re : Probabilités

A nouveau par la formule de changement de variable...

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#5 28-03-2020 14:18:11

Slifer
Membre
Inscription : 27-03-2020
Messages : 5

Re : Probabilités

Effectivement.

Merci.

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