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ommilandji

Invité

Equation différentielle avec conditions aux limites

Bonjour à tous,
je travaille sur un exercice suivant. Mes recherches sont données après chaque question. J'ai répondu à toutes les questions, parfois avec des incertitudes, sauf à une seule au début.

On cherche à déterminer l'existence de fonctions y non nulles de classe C2 sur I = [0 ; 1] , nulles en 0 et 1
pour lesquelles il existe un nombre réel k tel que : (E) y'' + k y = 0 sur I

1) Montrer de deux façons que si y existe , alors k est strictement positif
Méthode 1 : raisonnement par l'absurde
Méthode 2 : multiplier (E ) par y , intégrer la relation et conclure

Pour la méthode 1, pas de souci pour moi. Par l'absurde, je suppose que k est nul et, après calcul classique de la solution de l'équation différentielle à partir du discriminant de l'équation caractéristique, je trouve que y est la solution nulle donc impossible. Puis je suppose que k est strictement négatif et en développant la solution, pour déterminer les valeurs des constantes devant chaque exponentielle, je finis par trouver que k est nul.

Pour la méthode 2 par contre je sèche complètement. Si je suis l'indication, je tombe sur une équation du type y''y + ky² = 0 que je n'arrive pas à intégrer.
J'ai remarqué que (y²)'' = y''y+2y'y mais je n'arrive pas à exploiter ce résultat. Bref, j'aurais besoin d'aide pour cette partie.

2) On pose k = w² . Préciser la forme générale des solutions y et montrer que l'ensemble des w est infini dénombrable

A partir du résultat de la question 1 (k > 0) on obtient, en utilisant la méthode de résolution à partir de l'équation caractéristique, que
y(x) = constante . sin(t.w) = y'(0)/w . sin(t.w)
Et pour satisfaire la condition y(1) = 0 on obtient w = n .Pi donc l'ensemble des w peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels (sauf zéro), c'est pour moi la définition d'un ensemble infini dénombrable.

3) Déterminer une solution qui ne s'annule pas sur ] 0 ; 1 [ et de valeur maximale 1 sur [0 ; 1]. Est-elle unique ?

Pour satisfaire cette condition il faut déjà que sin(t.w) ne s'annule pas sur ] 0 ; 1 [ donc la seule solution possible est w = 1 x Pi car sinon on trouvera toujours un t dans ] 0 ; 1 [ tel que t = 1/n et sin(t.w) = sin(1/n x n x Pi) = 0
Ensuite pour que la condition valeur maximale de y = 1 soit satisfaite, on a nécessairement constante = 1.
Je pense donc que la solution y(x) = sin(t x Pi) est l'unique solution mais ma justification n'est pas très propre selon moi.

4) On considère l’espace euclidien E = C 0 ( [ 0 ; 1 ] ; IR ) muni du produit scalaire < ; > suivant :
< f ; g > = ∫ (de 0 à 1) f ( x ) g ( x ) d x pour tout ( f ; g ) dans E²
A l'aide des questions précédentes, déterminer une famille orthonormée de fonctions (yn) (n entier naturel) vérifiant (E ), pour ce produit scalaire.

J'intuite la famille de fonctions yn(x) = A x sin(t x n x Pi).
Je calcule le produit scalaire entre deux membres différents (yn et ym) de cette famille et utilise la formule de trigonométrie
sin a sin b =1/2 x (cos(a − b) − cos(a + b)) pour simplifier le produit de sinus dans l'intégrale. En discutant sur la parité de n et m (quatre cas possible P-P, I-I, P-I, I-P) j'obtiens systématiquement 0 dans la soustraction des deux cosinus donc produit scalaire nul et orthogonalité démontrée.
Pour normaliser la famille je calcule le produit scalaire < yn ; yn >. J'obtiens 1/2 donc norme de yn = 1/racine de 2
Donc j'ai au final la famille des yn tels que :
yn(x) = racine de 2 x sin(t x n x Pi)

Merci de me faire part de vos remarques et en particulier de toute piste pour la méthode 2 de la question 1).

JJ

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Re : Equation différentielle avec conditions aux limites

Il ne faut pas multiplier par y, mais par y'.

Roro

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Messages : 1 565

Re : Equation différentielle avec conditions aux limites

Bonjour,

Lorsque tu multiplies par $y$, et que tu intègres la relation obtenue sur $(0,1)$, il faut simplement penser à intégrer par parties :
$$\int_0^1 y'' y = -\int_0^1 (y')^2$$

Tu pourras alors conclure facilement car tu auras pas mal de choses positives...

Roro.

Dernière modification par Roro (14-03-2020 09:06:33)

ommilandji

Invité

Re : Equation différentielle avec conditions aux limites

Merci beaucoup