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#1 28-02-2020 15:51:58

Tmota
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Un groupe non cyclique

Bonjour,

J'aimerai montrer que le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ n'est pas cylique.

Je remarque c'est un groupe de cardinal 4 constitué des éléments suivants :
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{(\bar{0},\bar{0});(\bar{0},\bar{1});(\bar{1},\bar{0});(\bar{1},\bar{1})\}$.

Je remarque aussi que si $x$ est un élément de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ alors on a toujours $x+x=(\bar{0},\bar{0})$.

Mais je ne vois où est la contradiction.

Sachant que s'il était cyclique, alors il serait monogène et donc on pourrait écrire $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=<k>$ pour un certain élément $k$ de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Il me manque l'argument qui permettra de conclure.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

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#2 28-02-2020 16:14:55

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

Bonjour,

Peut être peux-tu utiliser qu'un groupe cyclique d'ordre 4 est isomorphe à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$...

Roro.

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#3 28-02-2020 16:22:00

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Non, je ne peux pas m'en servir dans cet exercice !
Car l'objet est de prouver qu'il ne peut être isomorphe, ni à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, ni à $\mathbb{U}_4$

Dernière modification par Tmota (29-02-2020 11:01:25)

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#4 28-02-2020 19:58:46

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

OK.

Dans ce cas, tu peux dire que pour tout $a\in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ le groupe $<a>$ est au plus d'ordre $2$ (puisque tu as remarqué qu'on avait toujours $a^2=e$).

Roro.

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#5 29-02-2020 11:24:16

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Bonjour,

merci pour la réponse. J'essaye de suivre votre raisonnement. On fixe $(\bar{a},\bar{b})\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. Alors :

$<(\bar{a},\bar{b})>:=\{k(\bar{a},\bar{b})\,,k\in\mathbb{Z}\}=\{(\bar{ka},\bar{kb})\,,k\in\mathbb{Z}\}$

Je fais la division euclidienne de $(\bar{u},\bar{v})$ par $2$ ce qui donne :

$(\bar{u},\bar{v})=2(\bar{a},\bar{b})+(\bar{r_1},\bar{r_2})$ avec $0\le r_1,r_2<2$

D'où $(\bar{u},\bar{v})=(\bar{r_1},\bar{r_2})$ puisque $2(\bar{a},\bar{b})=(\bar{0},\bar{0})$. Et donc :

$<(\bar{a},\bar{b})>=\{(\bar{r_1},\bar{r_2})\,,0\le r_1,r_2<2\}$

Je ne suis vraiment pas certain de ce que j'écris.
Mais je cherche à comprendre.

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#6 01-03-2020 16:00:23

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Bonjour,

j'ai tenté de reprendre cet exercice aujourd'hui. Voici ce que cela donne :

Si $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ était cyclique, alors il serait monogène est fini. Il existerait donc un élément $a\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ d'ordre fini de sorte que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=<a>$.

Or pour tout $a\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, on a $a^2=e$. Ainsi $o(a)\le 2$. Or $o(a)=card(<a>)$ et donc $card(<a>)\le 2$.

On aurait donc $card(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)=card(<a>)\le 2$.

Contradiction puisque $card(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)=4$.

Qu'en pensez-vous ?

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#7 01-03-2020 21:40:12

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

Bonsoir,

Ça me parait correct !

Roro.

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#8 02-03-2020 11:01:38

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Merci !

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#9 03-03-2020 14:56:02

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Bonjour,

je reviens sur cet exercice car dans une proposition du cours, on affirme que tout groupe monogène est abélien. Mais que la réciproque est fausse. Le contre-exemple mit en avant est justement $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.

Je sais qu'il n'est pas monogène, je l'ai prouvé ci-dessus.

Mais pourquoi est-il abélien ? Je dois le prouver à la main en testant toutes les combinaisons possibles de composition ?

Pouvez-vous m'aider ?

D'avance merci :)

Dernière modification par Tmota (03-03-2020 14:56:23)

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#10 03-03-2020 15:46:07

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

Bonjour,

Il est abélien car c'est le produit de deux groupes abéliens, et que la loi produit que tu as mis en place est le "produit canonique".

$(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d)+(a,b)$.

Roro.

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#11 03-03-2020 20:47:48

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Le produit de deux groupes abéliens est toujours abélien ? Pour quelle raison ?

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#12 03-03-2020 21:27:03

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

Bonsoir,

As-tu lu autre chose que les 12 premiers mots de mon post précédent ???

Je te démontre même que le groupe produit que tu considères est abélien. C'est en fait immédiat car tu as construit la loi sur le groupe produit pour que ça le soit... En fait, tu as fait le produit "direct" de $\mathbb Z_2$ par $\mathbb Z_2$ (autrement dit le produit terme à terme)

Effectivement, le produit direct de deux groupes abéliens est abélien.

Roro.

P.S. Ici ce qu'on appelle produit est ce que je note +...

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#13 03-03-2020 21:39:37

Tmota
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Re : Un groupe non cyclique

Je vois.
Enfin, je penses comprendre.

Ne devrait-on pas écrire $(\bar{a},\bar{b})\in\mathbb{Z}_2$ et $(\bar{c},\bar{d})\in\mathbb{Z}_2$ ? Avec la petite barre au-dessus ?

Ensuite, si je saisi bien, on a $(\bar{a},\bar{b})+(\bar{c},\bar{d})\underset{déf}{\text{=}}(\bar{a}+\bar{c},\bar{b}+\bar{d})$.

Et on sait que $\bar{a}+\bar{c}=\bar{c}+\bar{a}$ dans $\mathbb{Z}_2$. De même $\bar{b}+\bar{d}=\bar{d}+\bar{b}$ dans $\mathbb{Z}_2$.

Ce qui permet d'écrire : $(\bar{a},\bar{b})+(\bar{c},\bar{d})=(\bar{a}+\bar{c},\bar{b}+\bar{d})=(\bar{c}+\bar{a},\bar{d}+\bar{b})=(\bar{c},\bar{d})+(\bar{a},\bar{b})$.

Et ceci prouve que l'addition ainsi défini sur $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ est commutative. Donc $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ est abélien.

De manière générale, si $G_1$ et $G_2$ sont abéliens, alors $G_1\times G_2$ aussi.

Dernière modification par Tmota (03-03-2020 21:39:50)

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#14 03-03-2020 23:30:56

Roro
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Re : Un groupe non cyclique

Oui, ce que tu écris est juste.

Pour l'histoire de la barre sur les chiffres, c'est un choix que tu peux faire si tu veux...

Enfin quand tu conclus

Tmota a écrit :

De manière générale, si $G_1$ et $G_2$ sont abéliens, alors $G_1\times G_2$ aussi.

il faut simplement que tu te rendes compte que c'est vrai à condition que tu aies bien défini le produit comme tu l'as fait (il y a d'autres façons de définir un produit entre deux groupes).

Roro.

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