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#1 25-02-2020 15:31:15
- Gc35
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Equation avec exponentielle
Voilà le problème que je n'arrive pas a résoudre :
Pourver que pour tout x réel :
(f(x))carré - (f'(x)) carré =1
((EXP(x)+EXP(-x))/2)carré - ((2EXP(x)-2EXP(-x))/4)carré =1
Voila le problème.
Merci de votre aide.
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#2 02-03-2020 13:21:46
- delil.chloe
- Invité
Re : Equation avec exponentielle
Bonjour Gc35,
Il te suffit de développer l’expression que tu as et tu retomberas sur le résultat souhaité.
#3 16-03-2020 12:21:18
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Equation avec exponentielle
Enoncé pas très explicite.
Je présume qu'on donne l'équation différentielle (f(x))carré - (f'(x)) carré =1 et qu'on doit montrer qu'une solution de cette équation permet d'en déduire que : ((EXP(x)+EXP(-x))/2)carré - ((2EXP(x)-2EXP(-x))/4)carré =1
*************
Si oui, alors :
y² - y'² = 1 (1)
Equation différentielle :
dy/dx = +/- Square(y² - 1)
dy/Square(y² - 1) = +/- dx
On intègre :
argch(y) = +/- x + K
y = ch(K +/- x)
Et donc une solution de (1) est y = ch(x)
--> y' = sh(x)
on a y² - y'² = 1 --> ch²(x) - sh²(x) = 1
et avec ch(x) = (e^x + e^-x)/2 et sh(x) = (e^x - e^-x)/2
[(e^x + e^-x)/2]² - [(e^x - e^-x)/2]² = 1
ou encore : [(e^x + e^-x)/2]² - [(2e^x - 2e^-x)/4]² = 1
Dernière modification par Black Jack (16-03-2020 12:21:42)
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