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#1 01-03-2020 11:10:21

bbsebb
Membre
Inscription : 01-03-2020
Messages : 14

Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Bonjour,

j'ai énormément des mal à comprendre cette de notion d'ensemble des applications entre deux ensembles où FE. (et idem de la famille indexé). Est ce qu'il y aurai une âme charitable pour m'expliquer avec des exemples concrets ?

Je vous expose ce que j'ai compris, si on à deux ensemble E = {1,2,3} et F = {a,b}, FE correspond à toutes application possible et imaginable de E dans F. Soit :

  • f1(1)=a et f1(2)=a et f1(3)=a

  • f2(1)=a et f2(2)=a et f2(3)=b

  • f3(1)=a et f3(2)=b et f3(3)=b

  • f4(1)=b et f4(2)=b et f4(3)=b

  • f5(1)=b et f5(2)=a et f5(3)=a

  • f6(1)=b et f6(2)=b et f6(3)=a

  • f7(1)=b et f7(2)=a et f7(3)=b

  • f8(1)=a et f8(2)=b et f8(3)=a

Donc FE = {{a,a,a},{a,a,b} ....}.

Merci d'avance

Dernière modification par bbsebb (01-03-2020 11:56:14)

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#2 01-03-2020 11:57:43

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Bonjour,
C'est presque ça. La bonne réponse est plutôt $F^E = \{ \{(1,a),(2,a),(3,b) \},... \}$. Mais en pratique on définit plutôt $F^E$ par l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$, ou bien par $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Je suppose que quand tu parles de famille indexée tu fais allusion à $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Eh bien en fait c'est la même chose à peu de choses près :
Qu'est ce qu'une fonction ? Ces deux écritures fournissent deux réponses, ou plutôt deux point de vues pour décrire, au final, le même objet (quand je dit "même objet" je veux dire que les deux descriptions ont les mêmes propriétés).
En effet, si pour tout $x \in E$ tu connais l'image associée $f(x) \in F$ alors tu connais entièrement ta fonction !
Ainsi, que ce soit la liste $(f(x))_{x \in E})$ ou l'ensemble $\{ (x,f(x)) , x \in E \}$ représente tout deux la fonction $f$.
La première représentation est ce qu'il y a de plus proche, à mon sens, de la façon dont on se conçoit dans un premier temps une fonction :
Une fonction peut se voir comme une boite noire, dont on rentre une valeur ($x \in E$) et dont il en ressort une autre ($f(x)$), on cherche donc le terme indicé par $x \in E$.

L'autre représentation de $f$ correspond en fait à son graphe !
Si tu prends par exemple la fonction $f(x) = x$, en posant $R = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(-\pi, -\pi),... \} = \{ (x,x) , x \in \mathbb{R} \}$ et en posant sur $\mathbb{R}^2$ chacun des éléments de $R$ tu verras apparaitre le graphe de la fonction identité (tu verras la droite de coefficient directeur 1 passant par l'origine).

Dernière modification par Maenwe (01-03-2020 11:59:48)

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#3 01-03-2020 12:01:08

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Bonjour,

L'ensemble $E^F$ désigne effectivement l'ensemble des applications de $E$ dans $F$.
Lorsque $E$ et $F$ sont de cardinal fini, il y a $\mathrm{card}(E)^{\mathrm{card}(F)}$ applications de $E$ dans $F$. C'est bien ce que tu retrouves dans ton exemple.
... je m'arrête car je vois que Maenwe vient de répondre...

Roro.

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#4 01-03-2020 12:13:13

bbsebb
Membre
Inscription : 01-03-2020
Messages : 14

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Maenwe a écrit :

Bonjour,
C'est presque ça. La bonne réponse est plutôt $F^E = \{ \{(1,a),(2,a),(3,b) \},... \}$. Mais en pratique on définit plutôt $F^E$ par l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$, ou bien par $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Je suppose que quand tu parles de famille indexée tu fais allusion à $F^E = \prod\limits_{e \in E} F$.
Eh bien en fait c'est la même chose à peu de choses près :
Qu'est ce qu'une fonction ? Ces deux écritures fournissent deux réponses, ou plutôt deux point de vues pour décrire, au final, le même objet (quand je dit "même objet" je veux dire que les deux descriptions ont les mêmes propriétés).
En effet, si pour tout $x \in E$ tu connais l'image associée $f(x) \in F$ alors tu connais entièrement ta fonction !
Ainsi, que ce soit la liste $(f(x))_{x \in E})$ ou l'ensemble $\{ (x,f(x)) , x \in E \}$ représente tout deux la fonction $f$.
La première représentation est ce qu'il y a de plus proche, à mon sens, de la façon dont on se conçoit dans un premier temps une fonction :
Une fonction peut se voir comme une boite noire, dont on rentre une valeur ($x \in E$) et dont il en ressort une autre ($f(x)$), on cherche donc le terme indicé par $x \in E$.

L'autre représentation de $f$ correspond en fait à son graphe !
Si tu prends par exemple la fonction $f(x) = x$, en posant $R = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(-\pi, -\pi),... \} = \{ (x,x) , x \in \mathbb{R} \}$ et en posant sur $\mathbb{R}^2$ chacun des éléments de $R$ tu verras apparaitre le graphe de la fonction identité (tu verras la droite de coefficient directeur 1 passant par l'origine).

Merci, je pense avoir compris, je vais avancer dans les exercices et voir si j'arrive à appliquer.

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#5 02-03-2020 02:00:43

bbsebb
Membre
Inscription : 01-03-2020
Messages : 14

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Malgré votre aide, je coince quand même sur un exercice à ce sujet :

Soient A et B deux ensembles, avec A = ∅, construire une injection de B dans BA.

Pour moi c'est impossible comme BA est composé de couple {(ai,f(ai) ou bi), ... } à moins que A soit inclus dans B ?

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#6 02-03-2020 10:51:54

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Bonjour,

Je ne vois pass du tout l'intérêt d'une telle question, mais bon !

Pour $b\in B$, tu peux bien définir l'application $x\in \emptyset \mapsto b\in B$... c'est l'application qui à tout élément de $\emptyset$ (c'est-à-dire aucun !) associe l'élément $b$.

Roro.

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#7 02-03-2020 15:56:46

bbsebb
Membre
Inscription : 01-03-2020
Messages : 14

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Merci,

Je n'ai que des exercices comme cela ^^ et les corrections sont super succincts.

Par exemple : Soient A,B et C trois ensemble de f: A ↦ B. On suppose B inclut dans C et on définit F: A ↦ C en posant F(x) = f(x) pour tous x dans A.
1. montrer que l'application de BA vers CA qui associe F à f est injective.
2. A quelle condition est-elle surjective ?

Pour corriger de la réponse 1 c'est noté :

Réponse a écrit :

1) Immédiat.

^^

1) J'ai répondu comme card(B) < card(C) et F(x) = f(x) donc l'application de BA vers CA qui associe F à f est injective. En fait cela me parait logique, mais j'ai du mal à le formuler.

2) Pour B = C (elle est même bijective).

Je pense que je ne suis pas trop loin de la bonne réponse, mais c'est vraiment  que des questions comme celle ci.

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#8 02-03-2020 17:10:43

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Théorie des ensemble - Exponentiation ensembliste

Re-bonjour,

Concernant le 1), ta réponse ne me parait pas correcte pour deux raisons :
i) rien ne te dit que $A$ et $B$ sont de cardinal fini donc tu ne peux pas dire $\mathrm{card}(B) < \mathrm{card}(C)$ (et en plus il pourrait y avoir égalité...).
ii) le "donc" que tu mets ne me semble pas faire vraiment avancer le schmilblick (même si c'est effectivement "immédiat").

Une indication que tu peux proposer : je note $\Phi$ l'application $f\mapsto F$ définie dans l'énoncé.
Si tu reprends la définition d'injective, tu dois montrer que si $\Phi(f)=\Phi(g)$ alors $f=g$.
Prenons donc $f$ et $g$ telles que $\Phi(f)=\Phi(g)$. Cela signifie que pour tout $x\in A$ on a $\Phi(f)(x)=\Phi(g)(x)$. Mais par définition de $\Phi$, tu aura donc $f(x)=g(x)$ : $f=g$.

Pour le 2), tu as raison puisque si $B$ n'est pas égal à $C$, tu peux trouver un élément $x_0\in C\setminus B$ et ainsi construire une application $F:A\to C$ qui ne pourrait pas être dans l'image de $\Phi$ (par exemple en posant $F(x)=x_0$ pour tout $x\in A$).

Roro.

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