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#1 28-02-2020 15:04:02

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 95

Un morphisme de groupes (classique)

Bonjour,

je fais cette exercice aujourd'hui. Pourriez-vous me dire ce que vous en pensez ?

Exercice a écrit :

1) On considère $(G,.)$ un groupe et $a$ un élément de $G$. Montrer que l'application :
$$ \begin{array}{ll}
\phi : &\mathbb{Z}\longrightarrow G \\
   &k \longrightarrow a^k
\end{array}$$
est un morphisme.
2) Déterminer son image et son noyau.

1) Pas de problème.
2) Par définition, $Ker(\phi)=\{k\in\mathbb{Z}\,,a^k=1\}$ qui est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Donc on peut écrire $Ker(\phi)=n\mathbb{Z}$ pour un certain $n$ dans $\mathbb{N}$.

cas 1 : n=0.

Dans ce cas, $Ker(\phi)=0$ et donc $\phi$ est injective.
Par définition, $Im(\phi)=\{\phi(k)\,,k\in\mathbb{Z}\}=\{a^k\,,k\in\mathbb{Z}\}=:<a>$.
Par conséquent, $\phi$ réalise une surjection de $\mathbb{Z}$ sur $<a>$.
Par suite, $\phi$ réalise une bijection de $\mathbb{Z}$ sur $<a>$.

Dans ce cas, on a donc :
$Ker(\phi)=0$
$Im(\phi)=<a>$.
$<a>\simeq\mathbb{Z}$
$o(a)=card(<a>)=card(\mathbb{Z})=\infty$

cas 2 : $n\neq 0$.

Dans ce cas, $Ker(\phi)=n\mathbb{Z}$.
Puisque $n\in n\mathbb{Z}$, alors $n\in Ker(\phi)$ et donc $\phi(n)=1$, soit $a^n=1$.
Par définition, $Im(\phi)=\{\phi(k),,k\in\mathbb{Z}\}=\{a^k,,k\in\mathbb{Z}\}=:<a>$.

On fait la D.E. de $k$ par $n$ pour obtenir :

$k=nq+r$ avec $0\le r<n$

Et donc $a^k=(a^n)^qa^r=a^r$.
D'où $Im(\phi)=\{a^r\,,r\in[[0,n-1]]\}=:<a>$.

Par conséquent, $\phi$ réalise une surjection de $\mathbb{Z}$ sur $<a>$.

Ici, $\phi$ n'est pas injective.
Mais l'application $\bar{\phi}:\mathbb{Z}/Ker(\phi)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to <a>$ définie par $\bar{\phi}(\bar{k})=a^k$ l'est puisque :

$\bar{\phi}(u)=\bar{\phi}(v) \Rightarrow a^u=a^v\Rightarrow a^{u-v}=1\Rightarrow u-v\in Ker(\phi)=n\mathbb{Z}\Rightarrow \bar{u}=\bar{v}$

Par suite, $\phi$ réalise une bijection de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sur $<a>$.

Dans ce cas, on a donc :
$Ker(\phi)=n\mathbb{Z}$
$Im(\phi)=<a>$.
$<a>\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$o(a)=card(<a>)=card(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n$.

Cela m'a l'air long, pas spécialement bien rédigé, mais je pense juste.

Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ?
D'avance merci.

Dernière modification par Tmota (28-02-2020 15:19:59)

Hors ligne

#2 28-02-2020 19:06:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 494

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Ca me semble ok.

F.

Hors ligne

#3 28-02-2020 19:12:55

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 356

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Bonjour,
On peut faire bien plus court mais tout dépend de ce que tu as déjà vu...
Par exemple On sait que $n = o(a)$ (car le noyau de $\phi$ est l'ensemble des $k$ tel que $a^k = 1$, donc pour un tel $k$, il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $k = o(a) q$) et que $<a> \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et si $n \not = 0$ $<a> = \{ a^k , k \in [\![0,n-1 ] \!] \}$ et si $n=0$ $<a> = \{ a^k , k \in \mathbb{Z} \}$, tout ça c'est normalement du cours (avec $<P>$ le plus petit sous-groupe de $G$ contenant l'ensemble $P \subset G$).

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#4 01-03-2020 15:03:47

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 95

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Je ne suis pas encore à ce niveau ! Mais je reprendrais cet exercice bientôt, avec plus de recul.

Hors ligne

#5 01-03-2020 15:09:15

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 95

Re : Un morphisme de groupes (classique)

En revanche, quelque chose me gêne dans la rédaction.

Lorsque je fais le cas 1, à savoir n=0.

Je dis que $Ker(\phi)=0$ donc que $\phi$ est injective.

Et là, j'ai deux morphismes :

1. Celui de l'exercice : $\begin{array}{ll} \phi_1 : &\mathbb{Z}\longrightarrow G \\    &k \longrightarrow a^k \end{array}$, qui est injectif mais pas forcément surjectif.

2. Celui qui m'intéresse : $\begin{array}{ll} \phi_2 : &\mathbb{Z}\longrightarrow \phi(\mathbb{Z})=<a> \\    &k \longrightarrow a^k \end{array}$, qui est injectif et surjectif, donc un isomorphisme.

Je voudrais savoir, comment le rédiger correctement ?

Je dis que puisque $Ker(\phi_1)=0$ alors $\phi_1$ est injective et donc induit une surjection $\phi_2$ qui sera une bijection donc un isomorphisme ?

Cela me semble lourd de rédaction.

Comment le feriez-vous ?

Hors ligne

#6 01-03-2020 15:25:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 356

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Bonjour,
ça ce sont juste des résultats sur les notions d'injectivités, surjectivité et bijectivité. Il suffit de dire que puisque $\phi$ est injective, $\phi_1$ est bijective car surjective et injective. Ça suffit, parce qu'il est bien connu que si $f : A \to B$ est injective alors $f_1 : A \to f(B)$ est bijective. Je te propose une rédaction possible :
On pose $\phi_1 : \begin{array}[t]{ccc}
\mathbb{Z} & \to & \phi(\mathbb{Z}) \\
k & \mapsto & x^{k}
\end{array}$
Puisque $\phi$ est un morphisme injectif, que $Ker( \phi_1 ) = Ker( \phi )$ et que $Im( \phi )= Im( \phi_1)$, $\phi_1$ est un morphisme bijectif, donc un isomorphisme.

Dernière modification par Maenwe (01-03-2020 15:26:46)

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#7 01-03-2020 15:51:52

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 95

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Je vois,
merci beaucoup !

Hors ligne

#8 01-03-2020 19:07:43

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 356

Re : Un morphisme de groupes (classique)

Avec plaisir !

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