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#1 26-02-2020 05:22:13

Omhaf
Membre
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Messages : 22

Somme de 2 nombres cubes

Bonjour
J'en arrive aujourd'hui à proposer deux découvertes fortuites (et cela n'empêche pas qu'elles aient été  probablement déjà découvertes)
La première consiste à calculer la somme de 2 nombres élevés au cube d'une manière raccourcie:
La deuxième consiste à calculer la somme de 3 cubes consécutifs.
A  Première découverte
--------------------------
Exemple: 3³+ 8³ = 539
1 - additionner 3 +8=11
2 - multiplier 3 x 8=24
3 - élever au carré leur différence (8-3)² = 5²=25

formule:   3³+8³ =11(24+25) = 539

formule générale : a³+b³= (a+b)(ab + (b-a)²)

B Deuxième découverte
---------------------------

soient 3 nombres consécutifs a,b et c

a³+b³+c³= (b²+2)(a+b+c)
Je vous prie de tester ces formules avec d'autres nombres et partager votre avis
Merci

Dernière modification par Omhaf (26-02-2020 07:34:25)

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#2 26-02-2020 08:53:05

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour,
Pour la 1ère formule pas besoin de tester pour d'autres nombres puisqu'elle est vraie (as tu essayé de la prouver ? Ce n'est pas très compliqué en plus, il suffit de développer le terme de droite).
La deuxième est fausse par contre (si j'ai bien compris on a $a = b-1 = c-2$ ?) : on peut très facilement montrer que d'après ta formule n'importe quel somme de triplet successifs (donc $(a,a+1,a+2)$) chacun élevé au cube ($a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3$) est un multiple de 3... ça me semblait étrange (peut-être à tort) alors j'ai testé pour $(1,2,3)$ et : $1 + 4 + 27 = 32 \not = 36 = (2^2+2)(1+2+3)$.

PS : au passage ta deuxième formule tu aurais essayé de la démontrer tout seul en développant $a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3$ et $((a+1)^2 +2)(3a+3)$ et vérifier si oui ou non ce que tu obtiens c'est la même chose.

Dernière modification par Maenwe (26-02-2020 08:55:34)

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#3 26-02-2020 10:14:21

Matou
Invité

Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour,

Ta deuxième formule est élémentaire, voire immédiate :
$(b-1)^3+b^3+(b+1)^3=b^3-3b^2+3b-1+b^3+b^3+3b^2+3b+1=3b(b^2+2)$.

@Maenwe, tu t'es trompé dans l'application numérique, tu as posé  $2^3=4$.

Cordialement

Matou

#4 26-02-2020 13:01:01

Omhaf
Membre
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Messages : 22

Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour,
Matou, je sais qu'elle est élémentaire, j'ai fais les mêmes développement, mais l'objectif est de savoir si ces formules facilitent les calculs ou non ? en d'autres termes, y'a t il un quelconque intérêt à en tirer? 
merci à toi et à Maenwe
J'attend aussi l'avis de yoshi et LEG que je salue par l'occasion avec impatience

Dernière modification par Omhaf (26-02-2020 13:14:05)

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#5 26-02-2020 13:02:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Somme de 2 nombres cubes

Re,
Ah oui pardon ^^ En fait je pensais sur le moment à mettre le deuxième terme au carré (je n'ai aucune idée de pourquoi)... Quoi qu'il en soit merci Matou pour la correction.

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#6 26-02-2020 17:41:21

Omhaf
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Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour
j'ai développé la seconde formule concernant la somme des cubes de nombres consécutifs à ceci:
soit a, b c des entiers naturels
b=a+1
c=a+2

a³+b³+c³ =  a²+(a+1)³+(a+2)³
se résumerait finalement à ceci:
n'utiliser que le premier nombre, en l'occurrence : a
a³+b³+c³ =  a(3a²+9a+15)+9

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#7 26-02-2020 20:19:12

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 805

Re : Somme de 2 nombres cubes

RE,

Plus court me semble de poser  a=b-1, c=b+1
$(b-1)^3+b^3+(b+1)^3=b^3-3b^2+3b-1+b^3+3b^2+3b+1=3b^3+6b=3b(b^2+2)$

@+


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#8 26-02-2020 20:57:08

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 22

Re : Somme de 2 nombres cubes

Re
Merci yoshi
Effectivement  ! tu as raison c'est beaucoup plus simple
quelqu'un l'a déjà fait stp ? ou bien je suis en train de réinventer la roue ? :)
Essayons ensemble de trouver une formule identique mais avec la puissance 4 et probablement on pourrait établir une formule générale puissance n

Dernière modification par Omhaf (26-02-2020 20:59:06)

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#9 26-02-2020 21:57:08

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 387

Re : Somme de 2 nombres cubes

Pourquoi cette obsession pour savoir si quelqu'un a déjà écrit cette formule, peut-être que oui, peut-être que non... Ce qui compte c'est ce que tu en fais, son efficacité. Qui plus est chercher si quelqu'un a déjà utilisé cette formule serait perdre énormément de temps (je dit le mot "perdre" parce que comparé au temps que tu mettrais à chercher ce genre de chose, le résultats ne serait probablement pas à la hauteur du temps passé dessus, à moins que tu ne te mettes vraiment dans la littérature de la théorie des nombres, mais là ce ne serait pas pour trouver l'origine d'une formule mais dans l'idée de bien maîtriser le domaine).
Évite de raisonner comme ça, en générale lorsqu'on fait des maths c'est pour le plaisir et c'est pas grave si quelqu'un l'a déjà fait avant ! Ce genre de chose arrive, même dans le monde des chercheurs en mathématiques. Va jusqu'au bout de tes idées et si tu as une intuition de quelque chose mais que tu n'arrives pas à le formuler rigoureusement (c'est souvent comme ça qu'apparaisse les idées, elles ne sont pas très rigoureuses au début, plutôt floue, mais en y passant du temps il arrive qu'on la concrétise et d'autre fois on s’aperçoit qu'elle n'aboutit à rien) note là et cherche de la littérature dans ce domaine ci.

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#10 26-02-2020 22:37:57

Omhaf
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Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonsoir
Merci Maenwe
mon obsession mon ami est que je crains de vous agacer, vous, mathématiciens confirmés avec des choses inutiles venant d'un amateur tel que moi  et mon seul souci est de savoir si j'apporte quelque chose d'utile ou non car étaler ce qui est déjà su serait une perte de temps pour vous et je veux éviter de vous ennuyer
loin de moi tout sentiment égoïste car je sais que je ne suis pas un mathématicien académique mais mon amour à ce genre de recherche m'empêche de ne pas en parler
Merci encore

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#11 27-02-2020 13:47:51

Omhaf
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Messages : 22

Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour
voici une équation qui simplifie le calcul d'une somme de 2 nombres consécutifs élevés à la puissance 4
a4+b4=2a²b²+4ab+1
à vérifier
Merci

Dernière modification par Omhaf (27-02-2020 15:50:45)

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#12 27-02-2020 15:42:08

yoshi
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Messages : 14 805

Re : Somme de 2 nombres cubes

Re,

Pourtant, il y a une barre d'outils de messages disponible quand tu rédiges Tu y trouves notamment
les icônes
B   gras
I   italique
U souligner
S  barrer
x2  exposant,
x2  indice

Tu n'as donc pas vu ?
Je pars de a4, je sélectionne le 4, puis je clique sur x2  et j'obtiens a4.
Sinon, l'arme ultime des matheux est là :
Code Latex

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#13 27-02-2020 15:51:47

Omhaf
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Messages : 22

Re : Somme de 2 nombres cubes

Bonjour
Merci yoshi pour ton aide.
j'ai modifié.

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