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miaouse73

Invité

Système dynamique linéaire a deux variables

Bonjour, j'ai ce devoir maison a rendre pour le 24 février, mais je n'y arrive absolument pas, je n'arrive pas a comprendre comment il faut faire, pouvez vous m'indiquer les étapes et comment je dois m'y prendre s'il vous plait?
Exercice 1.

Dans un modele tres simple, l’interaction entre le virus VIH1 et le systeme immunitaire est
dv = v(r − pz), dt
dz = c − bz, dt
  ou` v est la viremie, z est la taille de la population de cellules immunitaires. Tous les paramètres de ce modele (r,p,c,b) sont positifs.
La premiere  ́equation indique qu’en absence d’immunite le virus prolifere avec un taux de croissance r et que le systeme immunitaire enleve une quantite de virus proportionnelle `a z et `a v. La deuxieme  ́equation indique que les cellules immunitaires sont produites avec une vitesse constante c, et disparaissent avec un taux b.

Montrer que z a un  ́equilibre z∗ = c/b. Montrer que pour r < pc/b la population virale decroit vers zero et le virus est  ́elimine et pour r > pc/b la viremie augmente sans limite. Indication :  ́etudier la stabilit ́e de l’ ́equilibre (v∗, z∗) = (0, c/b).

Exercice 2.
d ́ecrite par:
Dans un deuxi`eme modele, l’interaction entre le virus VIH1 et le systeme immunitaire est dv = v(r − pz),
dt
dz =cv−bz, dt
  ou` v est la vir ́emie, z est la taille de la population de cellules immunitaires. Tous les parametres de ce modele (r,p,c,b) sont positifs.
La premiere  ́equation indique qu’en absence d’immunite le virus prolifere avec un taux de croissance r et que le systeme immunitaire enleve une quantit ́e de virus proportionnelle `a z et `a v. La deuxi`eme  ́equation indique que les cellules immunitaires sont produites avec une vitesse proportionnelle `a la viremie, et disparaissent avec un taux b.
1) Montrer que l’ ́equilibre v∗ = 0, z∗ = 0 est un col.
2) Montrer que le systeme a un deuxi`eme  ́equilibre v∗∗ = rb , z∗∗ = r . Montrer que cet  ́equilibre est
cp p
stable. Il correspond donc `a une infection persistante.
3) Montrer que pour b < 4r l’ ́equilibre (v∗∗, z∗∗) est un foyer stable. Discuter la dynamique de la viremie dans ce cas.
4) Montrer que pour b > 4r l’ ́equilibre (v∗∗,z∗∗) est un noeud stable. Discuter la dynamique de la viremie dans ce cas.
5) Representer le portrait de phases pour p = c = b = r = 1. Discuter l’ ́evolution de la vir ́emie.
6) Representer le portrait de phases pour p = c = 1, b = 4, r = 3/4. Discuter l’ ́evolution de la viremie.

Roro

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Re : Système dynamique linéaire a deux variables

Bonjour,

Deux remarques :

1/ As-tu regardé ce que tu as posté ? C'est quasiment illisible, il faut que tu reprennes si tu veux qu'on t'aide.

2/ Qu'as-tu fait ? Qu'as-tu essayé ? Ici c'est un site d'entraide et pas fait-tes-devoirs-à-ma-place.

Roro.