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#1 22-02-2020 15:03:17

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 102

Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus

Bonjour à tous,

Je suis en L2 Math, et j'ai besoin de votre aide pour résoudre un petit exercice sur les suites de fonctions.

L'énoncé est le suivant :

Considérons la suite de fonctions ($f_n : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$) ($n \geq 1$) définie par : $\displaystyle{f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)}$.

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb R$.
2. Montrer que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R$.
3. Montrer que, pour tout $a > 0$, la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[-a,a]$.

J'ai réussi à faire la question 1 (la suite converge vers la fonction nulle), la question 2 ($||f_n - 0||_\infty = 1$), mais pour la question 3, je bloque un peu. Il me vient à l'idée de prendre $n$ assez grand pour que $f_n$ ait "de petites variations", mais j'ai du mal à justifier cela rigoureusement.

Merci d'avance pour votre aide !

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#2 22-02-2020 16:22:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 634

Re : Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus

Bonjour,

  Et si tu utilisais l'inégalité $|\sin (t)|\leq |t|$, vraie pour tout $t\in\mathbb R$?

F.

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#3 22-02-2020 18:31:47

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 102

Re : Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus

Ah oui, merci je n'y avais pensé !

Bonne soirée et encore merci !

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